analyse 1
Le cours d’Analyse 1 a pour objectif d’introduire les notions fondamentales de l’analyse réelle : les propriétés de l’ensemble des nombres réels, les suites numériques, les fonctions d’une variable réelle, les limites et le développement limité, ainsi que les bases du calcul intégral. Ces notions constituent la pierre angulaire de toutes les disciplines mathématiques, physiques et techniques.
1. L’ensemble des réels et ses propriétés
Le cours débute par une étude des propriétés de l’ensemble ℝ : ordre, densité, bornes, intervalles et valeur absolue. On y apprend à raisonner sur les inégalités, les majorants et minorants, ainsi qu’à maîtriser les propriétés de la valeur absolue, indispensable à la définition des limites et de la continuité.
Exemple : Pour tout réel x, on a |x| ≥ 0, et |x| = 0 ⇔ x = 0. Ces propriétés permettent de comparer des suites ou des fonctions à l’aide d’inégalités.
2. Suites numériques réelles
La deuxième partie du cours est consacrée aux suites numériques. On y étudie leur comportement à l’infini, la notion de convergence, ainsi que les critères liés à la monotonie et à la borne supérieure. Les sous-suites, le théorème de Bolzano–Weierstrass et les suites adjacentes sont également présentés comme outils essentiels pour comprendre la stabilité d’une limite.
Idée clé : Une suite croissante et majorée est convergente ; une suite décroissante et minorée l’est également. Ces résultats sont les premiers pas vers la rigueur mathématique du raisonnement par encadrement et convergence.
3. Fonctions réelles d’une variable
Cette partie introduit les notions de limite, de continuité et de dérivation. On y apprend à étudier la variation d’une fonction, à calculer des limites en utilisant les théorèmes usuels, et à interpréter géométriquement les dérivées comme des pentes de tangentes. Le comportement d’une fonction près d’un point ou à l’infini est examiné à travers des exemples concrets.
Exemple : La fonction f(x) = 1/x n’est pas définie en 0, mais on peut étudier la limite de f(x) lorsque x tend vers 0⁺ ou 0⁻, ce qui montre le comportement asymptotique de la courbe.
4. Développements limités
Le développement limité est un outil puissant pour approximer une fonction par un polynôme, et pour simplifier l’étude de comportements locaux. Cette partie du cours met en avant les formules classiques de Taylor et les approximations usuelles (par exemple : sin(x) ≈ x, exp(x) ≈ 1 + x pour x proche de 0).
Ces outils permettent de calculer rapidement des limites, de linéariser des fonctions, ou encore d’estimer des erreurs de calcul. C’est également une préparation essentielle à l’analyse numérique et à la physique mathématique.
5. L’intégrale simple
La dernière partie du cours introduit la notion d’intégrale définie, interprétée comme l’aire sous la courbe d’une fonction positive. On présente les méthodes d’approximation (rectangles, trapèzes, Simpson) et les propriétés fondamentales de l’intégrale : linéarité, positivité et additivité.
Exemple : Pour une fonction f(x) = x² sur [0, 1], l’intégrale représente l’aire sous la parabole, soit ∫₀¹ x² dx = 1/3.