Après avoir défini la notion de base d’un espace vectoriel, une question essentielle apparaît : combien de vecteurs faut-il pour décrire entièrement l’espace ? Cette question conduit naturellement à la notion de dimension.

Un espace vectoriel \( E \) est dit de dimension finie s’il admet une base composée d’un nombre fini de vecteurs. Si une base contient \( n \) vecteurs, on dit que :

\( \dim(E) = n \)

La dimension mesure donc le “nombre de directions indépendantes” nécessaires pour engendrer l’espace. Par exemple, \( \mathbb{R}^2 \) est de dimension 2 et \( \mathbb{R}^3 \) est de dimension 3.

Cette notion est fondamentale car elle permet de comparer différents espaces vectoriels et d’analyser leur structure.

Sous-espaces supplémentaires

Soient \( F \) et \( G \) deux sous-espaces vectoriels d’un espace \( E \). On dit que \( F \) et \( G \) sont supplémentaires dans \( E \) si tout vecteur \( u \in E \) s’écrit de manière unique sous la forme :

\( u = f + g \quad \text{avec} \quad f \in F,\; g \in G \)

Cela revient à dire que :

\( E = F + G \quad \text{et} \quad F \cap G = \{0\} \)

Autrement dit, les deux sous-espaces “se complètent” sans avoir d’autre vecteur commun que le vecteur nul. Cette décomposition est très importante en algèbre linéaire, notamment dans l’étude des applications linéaires, des projections et des décompositions d’espaces.

Dans un espace de dimension finie, la relation suivante est vérifiée :

\( \dim(E) = \dim(F) + \dim(G) \)

lorsque \( F \) et \( G \) sont supplémentaires dans \( E \).