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📚 Plan du module
📚 Plan du module – Algèbre 2
Ce module présente les notions fondamentales de l’algèbre linéaire nécessaires à la compréhension des structures vectorielles, des applications linéaires et des matrices. Il est organisé en cinq chapitres progressifs permettant une maîtrise théorique et pratique des outils essentiels.
📘 Chapitre 1 : Espaces vectoriels
- Définition d’un espace vectoriel sur ℝ et ℂ.
- Sous-espaces vectoriels.
- Somme de sous-espaces vectoriels.
- Sous-espaces supplémentaires.
- Famille libre et famille liée.
- Base d’un espace vectoriel (dimension finie).
- Notion de dimension.
📗 Chapitre 2 : Applications linéaires
- Définition d’une application linéaire.
- Opérations sur les applications linéaires.
- Noyau et image.
- Théorème du rang.
- Isomorphismes.
📙 Chapitre 3 : Matrices et déterminants
- Définition d’une matrice comme tableau de nombres.
- Matrices particulières (nulle, identité, diagonale, triangulaire…).
- Opérations sur les matrices.
- Déterminants : ordre 2, ordre 3 et généralisation.
- Propriétés du déterminant.
- Matrice inversible.
- Correspondance entre applications linéaires et matrices.
- Matrice de changement de base (matrice de passage).
📕 Chapitre 4 : Systèmes d’équations linéaires
- Définitions et interprétations géométriques.
- Écriture matricielle d’un système linéaire.
- Systèmes de Cramer (cas général).
- Conditions d’existence et d’unicité des solutions.
📓 Chapitre 5 : Réduction des matrices
- Valeurs propres et vecteurs propres.
- Polynôme caractéristique.
- Théorème de Cayley-Hamilton.
- Caractérisation des matrices diagonalisables.
- Caractérisation des matrices trigonalizables.
- Applications de la réduction des matrices.
