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Objectifs du Module
🎯 Objectifs pédagogiques du module – Algèbre 2
À l’issue de ce module, l’étudiant sera capable de maîtriser les structures fondamentales de l’algèbre linéaire, d’analyser des transformations linéaires et d’utiliser les outils matriciels pour résoudre des problèmes mathématiques et appliqués. Les objectifs sont formulés selon la taxonomie de Bloom afin de développer les compétences de compréhension, d’application, d’analyse et d’évaluation.
📘 Chapitre 1 : Espaces vectoriels
- Définir un espace vectoriel sur ℝ et ℂ et en identifier les axiomes fondamentaux.
- Vérifier qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel.
- Analyser la somme de deux sous-espaces et déterminer s’ils sont supplémentaires.
- Distinguer une famille libre d’une famille liée.
- Déterminer une base et calculer la dimension d’un espace vectoriel fini.
📗 Chapitre 2 : Applications linéaires
- Définir une application linéaire et expliquer ses propriétés.
- Calculer le noyau et l’image d’une application linéaire.
- Interpréter le théorème du rang.
- Analyser la relation entre dimension, noyau et image.
- Résoudre des problèmes utilisant les applications linéaires.
📙 Chapitre 3 : Matrices et déterminants
- Définir une matrice et identifier les matrices particulières.
- Effectuer les opérations matricielles fondamentales.
- Calculer des déterminants d’ordre 2 et 3 et généraliser leurs propriétés.
- Déterminer si une matrice est inversible.
- Établir la correspondance entre applications linéaires et matrices.
- Construire une matrice de passage entre deux bases.
📕 Chapitre 4 : Systèmes d’équations linéaires
- Modéliser un problème sous forme de système linéaire.
- Interpréter géométriquement un système d’équations linéaires.
- Résoudre un système par la méthode de Cramer.
- Analyser les conditions d’existence et d’unicité des solutions.
📓 Chapitre 5 : Réduction des matrices
- Définir les valeurs propres et vecteurs propres.
- Calculer un polynôme caractéristique.
- Appliquer le théorème de Cayley-Hamilton.
- Caractériser les matrices diagonalisables et trigonalizables.
- Utiliser la réduction des matrices pour simplifier des calculs.
- Évaluer l’intérêt de la diagonalisation dans des applications scientifiques.
