Pour résoudre l’équation homogène à coefficients constants :
\( a y''(x) + b y'(x) + c y(x) = 0 \),
on cherche une solution de la forme \( y(x) = e^{r x} \), où \( r \in \mathbb{R} \) est une constante à déterminer.
On calcule alors : \( y'(x) = r e^{r x} \), \( y''(x) = r^2 e^{r x} \).
En remplaçant dans l’équation, comme \( e^{r x} \neq 0 \), on obtient nécessairement :
\( a r^2 + b r + c = 0 \).
Équation caractéristique
Définition. L’équation polynomiale \( a r^2 + b r + c = 0 \) est appelée équation caractéristique associée à l’équation différentielle.
On note \( \Delta = b^2 - 4 a c \) son discriminant. Les racines de cette équation (et donc la forme des solutions) dépendent du signe de \( \Delta \).
Solutions selon le discriminant
Théorème. Soit \( \Delta = b^2 - 4 a c \).
Cas 1 : \( \Delta > 0 \)
L’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes \( r_1 \neq r_2 \). Les solutions de l’équation homogène sont :
\( y(x) = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x} \), où \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \).
Cas 2 : \( \Delta = 0 \)
L’équation caractéristique possède une racine double \( r_0 \). Les solutions sont :
\( y(x) = (\lambda + \mu x) e^{r_0 x} \), où \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \).
Cas 3 : \( \Delta < 0 \)
L’équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées \( r_1 = \alpha + i \beta \), \( r_2 = \alpha - i \beta \) avec \( \beta \neq 0 \).
Les solutions réelles sont :
\( y(x) = e^{\alpha x} \bigl( \lambda \cos(\beta x) + \mu \sin(\beta x) \bigr) \), où \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \).
Exemples
Exemple 1 : \( y'' - y' - 2 y = 0 \)
Équation caractéristique : \( r^2 - r - 2 = 0 \), soit \( (r + 1)(r - 2) = 0 \).
Racines : \( r_1 = -1 \), \( r_2 = 2 \) (\( \Delta > 0 \)).
\( y(x) = \lambda e^{-x} + \mu e^{2x} \).
Exemple 2 : \( y'' - 4 y' + 4 y = 0 \)
Équation caractéristique : \( r^2 - 4 r + 4 = 0 \), soit \( (r - 2)^2 = 0 \) (\( \Delta = 0 \)).
Racine double : \( r_0 = 2 \).
\( y(x) = (\lambda + \mu x) e^{2x} \).
Exemple 3 : \( y'' - 2 y' + 5 y = 0 \)
Équation caractéristique : \( r^2 - 2 r + 5 = 0 \).
Discriminant : \( \Delta = 4 - 20 = -16 < 0 \). Racines : \( r_1 = 1 + 2i \), \( r_2 = 1 - 2i \).
\( y(x) = e^{x} \bigl( \lambda \cos(2x) + \mu \sin(2x) \bigr) \).
Esquisse de démonstration
La démonstration consiste à construire deux solutions linéairement indépendantes, qui forment alors une base de l’espace des solutions (de dimension 2).
Cas \( \Delta > 0 \) :
Les racines \( r_1 \neq r_2 \) donnent deux solutions \( y_1(x) = e^{r_1 x} \), \( y_2(x) = e^{r_2 x} \), linéairement indépendantes.
Cas \( \Delta = 0 \) :
Racine double \( r_0 \). On vérifie que \( y_1(x) = e^{r_0 x} \) et \( y_2(x) = x e^{r_0 x} \) sont solutions et indépendantes.
Cas \( \Delta < 0 \) :
Racines complexes \( \alpha \pm i \beta \). Les parties réelle et imaginaire de \( e^{(\alpha + i \beta) x} \) donnent \( e^{\alpha x} \cos(\beta x) \) et \( e^{\alpha x} \sin(\beta x) \).