On considère une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, avec second membre :

\( a\,y''(x) + b\,y'(x) + c\,y(x) = g(x) \)

où \( a,b,c \in \mathbb{R} \), avec \( a \neq 0 \), et \( g : I \to \mathbb{R} \) est une fonction continue sur un intervalle ouvert \( I \subset \mathbb{R} \).

Comme pour le premier ordre, un théorème d’existence et d’unicité s’applique à ce type d’équation : si l’on fixe une condition initiale sur la valeur de la solution et sur sa dérivée, on obtient une solution unique sur l’intervalle d’étude.

Théorème (Cauchy–Lipschitz, second ordre).

Pour tout \( x_0 \in I \) et pour tout couple \( (y_0, y_1) \in \mathbb{R}^2 \), l’équation admet une unique solution \( y \) définie sur \( I \) satisfaisant les conditions initiales :

\( y(x_0) = y_0 \quad \text{et} \quad y'(x_0) = y_1. \)

Pour résoudre l’équation avec second membre \( (E) \), on commence par étudier l’équation homogène associée \( (E_0) \) :

\( a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0. \)

Une fois que l’on connaît la solution générale de \( (E_0) \), il suffit de trouver une solution particulière \( y_p \) de \( (E) \).

Proposition (superposition).

Si \( y_p \) est une solution particulière de \( (E) \), et si \( y_h \) est une solution quelconque de \( (E_0) \), alors \( y = y_h + y_p \) est solution de \( (E) \).

Réciproquement, toute solution de \( (E) \) s’écrit sous cette forme. Ainsi, la solution générale de \( (E) \) est :

\( y(x) = y_h(x) + y_p(x). \)

En pratique, le point délicat est donc la recherche de \( y_p \). Lorsque \( g(x) \) est une combinaison d’exponentielles, polynômes, sinus et cosinus, on utilise souvent la méthode des coefficients indéterminés.

On présente ci‑dessous deux formes de second membre très fréquentes, ainsi qu’un « principe de correction » en cas de résonance (c’est‑à‑dire lorsque la forme proposée est déjà solution de l’homogène).

Le principe général est : on choisit une forme « candidate » pour \( y_p \) ressemblant à \( g \), puis on détermine les coefficients en remplaçant dans l’équation. Si la candidate est en conflit avec les solutions homogènes, on la multiplie par une puissance de \( x \) jusqu’à obtenir l’indépendance.

Second membre du type \( e^{\alpha x}P(x) \).

Supposons que \( g(x) = e^{\alpha x}P(x) \), où \( \alpha \in \mathbb{R} \) et \( P \) est un polynôme. On cherche alors une solution particulière sous la forme :

\( y_p(x) = e^{\alpha x}\,x^{m}\,Q(x) \)

où \( Q \) est un polynôme de même degré que \( P \). L’exposant \( m \) dépend d’une éventuelle résonance avec l’équation caractéristique :

• \( m = 0 \) si \( \alpha \) n’est pas racine de l’équation caractéristique ;
• \( m = 1 \) si \( \alpha \) est une racine simple ;
• \( m = 2 \) si \( \alpha \) est une racine double.

Ce « facteur \( x^m \) » sert à garantir que la forme choisie pour \( y_p \) ne recopie pas déjà une solution de l’équation homogène.

Second membre du type \( e^{\alpha x}\bigl(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x)\bigr) \).

Supposons que \( g(x) = e^{\alpha x}\bigl(P_1(x)\cos(\beta x) + P_2(x)\sin(\beta x)\bigr) \), avec \( \alpha,\beta \in \mathbb{R} \) et \( P_1, P_2 \) des polynômes.

On cherche une solution particulière sous la forme :

\( y_p(x) = x^{m} e^{\alpha x}\bigl(Q_1(x)\cos(\beta x) + Q_2(x)\sin(\beta x)\bigr), \)

où \( Q_1 \) et \( Q_2 \) sont des polynômes, de degré \( n = \max\{\deg P_1, \deg P_2\} \). Le choix de \( m \) dépend de la présence ou non de la racine complexe \( \alpha + i\beta \) dans l’équation caractéristique :

• \( m = 0 \) si \( \alpha+i\beta \) n’est pas racine de l’équation caractéristique ;
• \( m = 1 \) si \( \alpha+i\beta \) est racine (résonance).

Considérons successivement les trois équations :

\( (E_0)\; y'' - 5y' + 6y = 0 \)
\( (E_1)\; y'' - 5y' + 6y = 4x e^{x} \)
\( (E_2)\; y'' - 5y' + 6y = 4x e^{2x} \)

Résolution de \( (E_0) \).

L’équation caractéristique est \( r^2 - 5r + 6 = 0 \), soit \( (r-2)(r-3)=0 \). Les racines sont donc \( r_1=2 \) et \( r_2=3 \).

La solution générale de \( (E_0) \) est :

\( y_h(x) = \lambda e^{2x} + \mu e^{3x}, \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R}. \)

Résolution de \( (E_1) \).

Ici \( g(x)=4x e^{x} \). Comme \( \alpha=1 \) n’est pas racine de l’équation caractéristique, on cherche une solution particulière sous la forme :

\( y_p(x) = (ax+b)e^{x}. \)

En remplaçant dans l’équation, on obtient le système sur \( a \) et \( b \) : \( 2a = 4 \) et \( -3a + 2b = 0 \), d’où \( a=2 \) et \( b=3 \).

On peut donc prendre \( y_p(x) = (2x+3)e^{x}. \) La solution générale de \( (E_1) \) est alors :

\( y(x) = (2x+3)e^{x} + \lambda e^{2x} + \mu e^{3x}. \)

Conditions initiales pour \( (E_1) \).

On cherche maintenant la solution vérifiant \( y(0)=1 \) et \( y'(0)=0 \). On a \( y(0)=3+\lambda+\mu \) donc \( 3+\lambda+\mu = 1 \).

En dérivant, \( \bigl((2x+3)e^x\bigr)' = (2x+5)e^x \), donc \( y'(0)=5+2\lambda+3\mu \), et la condition \( y'(0)=0 \) donne \( 5+2\lambda+3\mu = 0 \).

En résolvant le système, on obtient \( \lambda = -1 \) et \( \mu = -1 \). La solution cherchée est donc :

\( y(x) = (2x+3)e^{x} - e^{2x} - e^{3x}. \)

Résolution de \( (E_2) \).

Ici le second membre est \( 4x e^{2x} \). Comme \( \alpha=2 \) est une racine de l’équation caractéristique (racine simple), il y a résonance : on multiplie la forme candidate par \( x \). On cherche donc une solution particulière sous la forme :

\( y_p(x) = x(ax+b)e^{2x}. \)

Après calcul (remplacement dans l’équation et identification), on obtient une solution particulière possible : \( y_p(x) = x(-2x-4)e^{2x}. \)

La solution générale de \( (E_2) \) est alors :

\( y(x) = x(-2x-4)e^{2x} + \lambda e^{2x} + \mu e^{3x}. \)