Produit scalaire

Soient X = (x1, x2, ..., xn) et Y = (y1, y2, ..., yn) deux vecteurs de Rn.

On appelle produit scalaire de X et Y le nombre réel défini par :

<X , Y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn

Norme euclidienne

La norme euclidienne d’un vecteur X (ou la longueur de X) est définie par :

||X|| = √(x12 + x22 + ... + xn2)

Distance

La distance entre deux vecteurs X et Y de Rn est définie par :

d(X , Y) = ||X − Y||

Propriétés de la norme

  • ||X|| = 0 si et seulement si X = 0.
  • ||X|| > 0 si et seulement si X ≠ 0.
  • ||λX|| = |λ| · ||X|| pour tout λ ∈ R et tout X ∈ Rn.
  • ||X + Y|| ≤ ||X|| + ||Y|| pour tous X, Y ∈ Rn (inégalité triangulaire).

Propriété

| ||X|| − ||Y|| | ≤ ||X − Y||

Normes usuelles sur Rn

Soit X = (x1, x2, ..., xn) un vecteur de Rn. Les trois normes usuelles sur Rn sont définies comme suit :

Norme infinie :

||X||∞ = sup { |x1| , |x2| , ... , |xn| }

Norme 1 :

||X||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|

Norme euclidienne :

||X||2 = √( x12 + x22 + ... + xn2 )

Orthogonalité

Deux vecteurs X et Y de Rn sont dits orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul :

<X , Y> = 0

Boules et sphères dans Rn

Soient a ∈ Rn et r > 0.

La boule ouverte de centre a et de rayon r est l’ensemble :

B(a , r) = { x ∈ Rn | ||x − a|| < r }

La boule fermée de centre a et de rayon r est l’ensemble :

B̄(a , r) = { x ∈ Rn | ||x − a|| ≤ r }

La sphère de centre a et de rayon r est l’ensemble :

S(a , r) = { x ∈ Rn | ||x − a|| = r }

Partie bornée

Une partie D de Rn est dite bornée si pour tous X, Y ∈ D, l’ensemble des réels ||X − Y|| est borné.

Remarque

Lorsque a = 0 dans Rn et r = 1, on obtient ce que l’on appelle la boule unité ou la sphère unité.
Modifié le: jeudi 5 mars 2026, 02:43