Limite d’une fonction de plusieurs variables
La notion de limite d’une fonction de plusieurs variables généralise celle des fonctions d’une seule variable réelle. Cependant, les limites à gauche et à droite n’ont plus de sens. Elles sont remplacées par une infinité de directions possibles par lesquelles on peut approcher le point considéré.
Définition
Soit la fonction
\( f : D_f \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \)
\( (x,y) \mapsto f(x,y) \)
où \(D_f\) est le domaine de définition de \(f\) et \(M_0(x_0,y_0) \in D_f\).
On dit que f admet la limite \(L\) lorsque \(M(x,y)\) tend vers \(M_0(x_0,y_0)\) si les valeurs de \(f(x,y)\) peuvent être rendues aussi proches que l’on veut de \(L\) lorsque le point \(M\) est suffisamment proche de \(M_0\).
On écrit :
\( \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = L \)
ou
\( \lim_{M\to M_0} f(x,y) = L \)
Cela signifie :
\( \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0 \)
si \( \|(x,y)-(x_0,y_0)\| < \delta \) alors \( |f(x,y)-L| < \varepsilon \).
Le symbole \(V(M_0)\) désigne un voisinage du point \(M_0\).
Limite infinie
On dit que \(f\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(M\to M_0\) si :
\( \forall A>0,\ \exists \delta>0 \)
si \( \|(x,y)-(x_0,y_0)\| < \delta \) alors \( f(x,y) > A \).
On écrit :
\( \lim_{M\to M_0} f(x,y)=+\infty \)
De même, \(f\) tend vers \( -\infty \) si :
\( \forall A>0,\ \exists \delta>0 \)
si \( \|(x,y)-(x_0,y_0)\| < \delta \) alors \( f(x,y) < -A \).
On écrit :
\( \lim_{M\to M_0} f(x,y)=-\infty \)
Exemple
Considérons la fonction :
\( f(x,y)=2x-y+1 \)
Calculons :
\( \lim_{(x,y)\to(1,1)} f(x,y) \)
On obtient :
\( \lim_{(x,y)\to(1,1)} f(x,y)=2 \)
En effet :
\( |f(x,y)-2| = |2x-y-1| \)
\( = |2(x-1)-(y-1)| \)
\( \le 2|x-1| + |y-1| \)
Ainsi, si \( \|(x,y)-(1,1)\| \) est suffisamment petit, alors \( |f(x,y)-2| < \varepsilon \).
Opérations algébriques sur les limites
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que
\( \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=L \)
\( \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)=L_0 \)
et \( \lambda \in \mathbb{R} \). Alors :
- \( \lim (f(x,y)+g(x,y)) = L + L_0 \)
- \( \lim (f(x,y)g(x,y)) = L\,L_0 \)
- \( \lim (\lambda f(x,y)) = \lambda L \)
- Si \( g(x,y)\neq0 \) dans un voisinage de \( (x_0,y_0) \) et \(L_0\neq0\), alors
\( \lim \dfrac{f(x,y)}{g(x,y)} = \dfrac{L}{L_0} \)
Théorème des gendarmes
Soient \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions définies sur une partie de \( \mathbb{R}^2 \) telles que :
\( g(x,y) \le h(x,y) \le f(x,y) \)
Si
\( \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)= \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)=L \)
alors :
\( \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} h(x,y)=L \)
Exemple
Calculons :
\( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2} \)
On remarque que :
\( 0 \le \dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2} \le \dfrac{1}{4}(x^2+y^2) \)
Or :
\( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{1}{4}(x^2+y^2)=0 \)
Donc, d’après le théorème des gendarmes :
\( \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0 \)