Introduction
L'équation x + 7 = 6 n'a pas de solutions dans N (ensemble des nombres naturels), mais elle en a dans un ensemble plus grand : Z (ensemble des nombres relatifs) avec x = -1.
De même, l'équation 3 x = 1 n'a pas de solutions dans Z, alors que dans un ensemble plus grand, Q (ensemble des nombres rationnels) par exemple, il y en a une : x = 1/3 ; et puis, l'équation x² = 2 n'a pas de solutions dans Q, il faut chercher dans l'ensemble des nombres réels R pour trouver la solution.
Donc, dès qu'une équation n'a pas de solutions, la démarche naturelle consiste à chercher dans un ensemble plus grand que l'on connait étant R, et pourtant l'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solutions dans R.
On va donc imaginer un ensemble plus grand que R dans lequel l'équation x² + 1 = 0 possède des solutions. Nous l'appellerons C : ensemble des nombres complexes. Le principal élément de C sera appelé i (comme imaginaire) ou j. Le nombre j est tel que j² = -1. Alors l'équation x² + 1 = 0 possède deux solutions : x = +j et x = -j .
1. Forme algébrique (Forme cartésienne)
Un nombre complexe x s'écrit :
|
x = a + j.b (par exemple : x = 2 + j.3 ) |
(1.1) |
2. Partie réelle et partie imaginaire
Un nombre complexe x = 2 + j.3 possède une partie réelle et une partie imaginaire tel que :
2: partie réelle.
3: partie imaginaire.
j: nombre imaginaire unité.
2.1 Exemples
Un nombre complexe réel pur est un nombre qui n'a pas de partie imaginaire tel que :
|
x = -9 + j.0 ou x = -9 |
(1.2) |
Un nombre complexe imaginaire pur est un nombre qui n'a pas de partie réelle tel que :
|
x = 0 + j.2 ou x = + j.2 |
(1.3) |
3. Addition et soustraction des nombres complexes
Les parties réelles s'additionnent (ou se soustraient). De même, les parties imaginaires s'additionnent (ou se soustraient).
3.1 Exemples
Soit x1 = 5 + j.7 et x2 = -2 + j, la somme et la soustraction des deux nombres complexes s'écrivent:
| x1 + x2 = 5 + j7 -2 + j = (5 - 2) + j(7 + 1)
|
(1.4) |
| x1 + x2 = 3 + j8
|
(1.5) |
| x1 - x2 = 5 + j7 -(-2 + j) = (5 + 2) + j(7 - 1)
|
(1.6) |
| x1 - x2 = 7 + j6
|
(1.7) |
4. Multiplication d'un nombre réel par un nombre complexe
Soit x = 3 + j5, si on multiplie le nombre complexe x par un nombre réel 8, on aura :
| 8 . x = 8.(3 + j5) = 24 + j40
|
(1.8) |
5. Multiplication de deux nombres complexes
Il faut savoir que :
|
(1.9) |
Donc, pour x1 = 6 + j.3 et x2 = 5 + j.2 , le produit est donné par :
| x1.x2 = (6 + j.3) . (5 + j.2)
|
(1.10) |
| x1.x2 = 30 + j.12 + j.15 + j².6
|
(1.11) |
| x1.x2 = 24 + j.27
|
(1.12) |
6. Forme trigonométrique (forme polaire)
La forme trigonométrique ou polaire consiste à représenter le nombre complexe sous le forme :
|
x = (2 ; π/3 rd) ou x = (2 ; +60°) |
(1.13) |
7. Module et argument
Un nombre complexe possède un module et un argument, tel que : le module du nombre complexe x se note |x|. Il peut être un nombre réel positif ou nul. Tandis que l'argument d'un nombre complexe x est un angle que l'on peut exprimer en degrés (°) ou en radians (180° = π rad). L'argument du nombre complexe x se note : arg(x).
8. Passage de la forme trigonométrique (polaire) à la forme algébrique (cartésienne)
Le passage de la forme trigonométrique d'un nombre complexe à la forme algébrique s'effectue par la règle suivante :
partie réelle = module . cosinus de l'argument
partie imaginaire=module . sinus de l'argument
8.1 Exemple
Soit le nombre complexe x = (2 ; π/3 rad), la forme algébrique de x est donnée par :
9. Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
9.1 Plan complexe
Le plan complexe est une représentation graphique d'un nombre complexe; soit x = 3 + j.5 , la représentation de x dans le plan complexe est donnée par la figure suivante.
Sur le plan complexe, l'axe des abscisses représente la partie réelle du nombre complexe alors que la parte imaginaire est représentée par l'axe des ordonnées.
9.2 Module
Le module est représenté sur le plan complexe par un vecteur calculé comme suit :
|
(1.14) |
Ainsi, le module de x est donné par :
9.3 Argument
L'argument d'un nombre complexe est représenté par un angle comme suit :
Dans le cas où la partie réelle est strictement positive :
|
(1.15) |
D'où :
9.4 Cas particulier
1. Dans le cas particulier où la partie réelle est positive et la partie imaginaire est nulle (nombre réel pur positif), l'argument est nul.
Arg (3) = 0°
2. Dans le cas particulier où la partie réelle est négative et la partie imaginaire est nulle (nombre réel pur négatif), l'argument est +180° (π en rad).
Arg (-3) = 180°
3. Dans le cas particulier où la partie réelle est nulle et la partie imaginaire est positive (nombre imaginaire pur positif), l'argument est +90° ( π/2 en rad).
Arg (+j.4) = 90°
4. Dans le cas particulier où la partie réelle est nulle et la partie imaginaire est négative (nombre imaginaire pur négatif), l'argument est -90° (- π/2 en rad).
Arg (-j.4) = -90°
5. Dans le cas particulier où la partie réelle est strictement négative :
Exemple
10. Multiplication de deux nombres complexes en forme trigonométrique
La multiplication est effectuée comme suit :
Module du produit = produit des modules
Argument du produit = somme des arguments
Exemple
Soit x1 = (3 ; π/4) et x2 = (2 ; -π/6) , la multiplication de x1 par x2 est donnée par :
11. Division de deux nombres complexes en forme trigonométrique
La division est effectuée comme suit :
Module du quotient = quotient des modules du numérateur et dénominateur
Argument du quotient = soustraction des arguments du numérateur et dénominateur
Exemple
Soit x1 = (3 ; π/4) et x2 = (2 ; -π/6), la division de x1 par x2 est donnée par :
12. Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué d'un nombre complexe x = a + j.b (a, b des réels) est le nombre complexe défini par :
En d'autres termes :
|
(1.16) |
12.1 Produit d'un nombre complexe par son conjugué
Le produit d'un nombre complexe x par son conjugué, est égal à :
|
(1.17) |
En effet, on a :
Donc, le produit d'un nombre complexe par son conjugué est égal au carré du module de x :
|
(1.18) |