Introduction

En se basant sur le chapitre précédent consacré à l'étude des circuits électriques de base R.L.C, nous allons voir dans ce chapitre les circuits électriques en régime monophasé ainsi qu'en régime triphasé. Aussi, le calcul des puissances électriques sera étudié et présenté dans ce chapitre dans le cas du régime sinusoïdal.

1. Régime monophasé sinusoïdal

1.1 Rappel sur la description des grandeurs sinusoïdales

On écrit une tension sinusoïdale sous la forme :

(3.1)

Où:

U_max : Amplitude (valeur maximale ou crête) (V)

ω : pulsation électrique (rad.s^-1) avec : ω = 2πf

φ : phase initiale (rad)

(ωt + φ) : phase instantanée (rad)

 

1.2 Valeur moyenne d'une grandeur périodique

(3.2)

pour un signal sinusoïdal périodique : U_moy = 0.

 

1.3 Valeur efficace d'une grandeur périodique

C'est la racine carrée de la grandeur considérée :

(3.3)

La valeur efficace d'une grandeur électrique est appelée aussi RMS : pour Root Mean Square (en Anglais).

Pour une tension sinusoïdale, on trouve :

(3.4)

d'où :

(3.5)

 

La valeur efficace est celle indiquée par les voltmètres et les ampèremètres. En électrotechnique, on utilise toujours la valeur efficace des tensions et courants. (Exemple : 230V)

 

1.4 Représentation vectorielle (Diagramme de Fresnel)

A chaque fonction sinusoïdale, on associe un vecteur de Fresnel partant de l'origine du repère avec :

comme module : Amplitude de la fonction U_max

comme phase : la phase instantanée (ωt + φ).

Ainsi, pour la tension suivante, on dessine le vecteur associé :

 

 

 

Par convention : On présente le vecteur de Fresnel à t = 0 avec comme module la valeur efficace de la grandeur utilisée. On adoptera par conséquent, la valeur efficace au lieu de la valeur maximale.

 

Par convention : On adopte pour le sens de rotation d'un vecteur (son évolution dans le temps), le sens de rotation trigonométrique ou le sens inverse des aiguilles d'une montre.

 

1.5 Addition et soustraction dans le diagramme de Fresnel

L'addition (ou la soustraction) de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation :

est une grandeur sinusoïdale de même pulsation :

 

L'addition est plus simple à obtenir en effectuant une addition vectorielle dans le diagramme vectoriel de Fresnel plutôt qu'une addition arithmétique :

(3.6)

 

 

1.6 Dérivation et Intégration dans le diagramme de Fresnel

La dérivation ou l'intégration d'une grandeur sinusoïdale (exemple : u) donne une grandeur sinusoïdale de nature différente mais de même pulsation.

Graphiquement, dériver revient à multiplier le module de la grandeur considérée par ω et à la déphaser en avant de π/2 alors qu'intégrer revient à diviser son module par ω et à la déphaser en arrière de π/2.

 

2. Puissance en régime monophasé sinusoïdal

Par convention : Avec la convention de signe récepteur, si la puissance est positive alors le système reçoit de l'énergie, tandis que si la puissance est négative alors il cède de l'énergie.

 

2.1 Notion de puissance instantanée p

La puissance instantanée est donnée par la formule suivante (en Watt ou W) :

(3.7)

 

En prenant le vecteur de tension comme vecteur de référence dans le diagramme de Fresnel, on a :

2.2 Puissance active P

La puissance active est la valeur moyenne de la puissance instantanée. Dans le cas d'un courant et d'une tension sinusoïdaux, on a :

(3.8)

P : Puissance active (en Watt ou W).

U : valeur efficace de la tension (U_eff).

I : valeur efficace du courant (I_eff).

 

2.3 Puissance apparente S

On définit la puissance apparente par :

(3.9)

S : puissance apparente (en Volt-Ampère ou VA).

Ce qui permet d'introduire la notion du facteur de puissance (sans unité) appelé PF (Power Factor en anglais) :

(3.10)

 

En régime sinusoïdal, on trouve :

En effet, nous pouvons facilement obtenir :

(3.11)

 

2.4 Puissance réactive Q

La puissance réactive en régime sinusoïdal est donnée par :

(3.12)

Q : puissance réactive (en Volt-Ampère Réactif ou VAR)

 

2.5 Notion de la puissance complexe

On peut définir la puissance apparente S sous la forme complexe suivante :

(3.13)

 

d'où :

(3.14)

 

Graphiquement, la puissance complexe peut être reformuler sous la forme vectorielle suivante afin de pouvoir représenter vectoriellement les différentes puissances :

(3.15)

 

 

On peut obtenir à partir du triangle PQS (sur le plan complexe des puissances) un certain nombre de relations utiles lors de la résolution des différents exercices :

(3.16)

 

Enfin, la puissance apparente (sous sa forme complexe est donnée par) :

(3.17)

 

2.6 Théorème de Boucherot (Paul Boucherot, 1869-1943)

Si un circuit contient n composants absorbant chacun une puissance active P_i et une puissance réactive Q_i, alors les puissances totales peuvent être calculées par :

(3.18)

alors que :

(3.19)

 

Ceci peut être expliqué par le fait que la puissance apparente est une puissance complexe (composée de partie réelle : puissance active ; et de partie imaginaire : puissance réactive). Par conséquent, les puissances actives peuvent s'additionner (de même pour les puissances réactives), alors que la puissance apparente doit s'additionner en vectoriel ou en complexe mais non en arithmétique.

Néanmoins, la puissance apparente totale peut être obtenue par :

(3.20)

 

 

Important: le théorème de Boucherot est seulement vérifié à fréquence constante. Sinon, à fréquence variable, la puissance apparente devient :

(3.21)

ou encore :

(3.22)

D : est appelée puissance déformante. Dans ce cas, le régime sinusoïdal devient régime harmonique (à fréquence variable).