On considère une équation différentielle linéaire du second ordre (avec second membre) :

\( a\,y''(x) + b\,y'(x) + c\,y(x) = g(x) \)

et l’équation homogène associée :

\( a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0. \)

On suppose que l’on connaît déjà deux solutions linéairement indépendantes \( y_1 \) et \( y_2 \) de l’équation homogène, ce qui signifie que \( \{y_1,y_2\} \) forme une base de l’espace des solutions de l’homogène.

La méthode de variation des constantes (ou variation des paramètres) consiste à chercher une solution particulière de l’équation complète sous la forme

\( y_p(x) = \lambda(x)\,y_1(x) + \mu(x)\,y_2(x), \)

où, cette fois, \( \lambda \) et \( \mu \) ne sont plus des constantes, mais des fonctions à déterminer.

Pour pouvoir calculer proprement \( y_p' \) et \( y_p'' \), on impose une condition auxiliaire qui simplifie les dérivées. On demande que \( \lambda \) et \( \mu \) vérifient le système :

\( (S)\;\;\begin{cases} \lambda'(x)\,y_1(x) + \mu'(x)\,y_2(x) = 0,\\[4pt] \lambda'(x)\,y_1'(x) + \mu'(x)\,y_2'(x) = \dfrac{g(x)}{a}. \end{cases} \)

Expliquons l’idée. Si \( y_p = \lambda y_1 + \mu y_2 \), alors en dérivant :

\( y_p' = \lambda' y_1 + \mu' y_2 + \lambda y_1' + \mu y_2'. \)

Grâce à la première équation de \( (S) \), le terme \( \lambda' y_1 + \mu' y_2 \) s’annule, ce qui donne la formule simplifiée :

\( y_p' = \lambda y_1' + \mu y_2'. \)

En dérivant encore :

\( y_p'' = \lambda' y_1' + \mu' y_2' + \lambda y_1'' + \mu y_2''. \)

Puis, grâce à la deuxième équation de \( (S) \), on remplace \( \lambda' y_1' + \mu' y_2' \) par \( \dfrac{g(x)}{a} \) et on obtient :

\( y_p'' = \dfrac{g(x)}{a} + \lambda y_1'' + \mu y_2''. \)

On peut alors vérifier que \( y_p \) satisfait bien l’équation :

\( a y_p'' + b y_p' + c y_p = a\left(\dfrac{g}{a} + \lambda y_1'' + \mu y_2''\right) + b(\lambda y_1' + \mu y_2') + c(\lambda y_1 + \mu y_2). \)

En regroupant les termes, on trouve \( g(x) \) plus une combinaison linéaire de \( a y_i'' + b y_i' + c y_i \), qui vaut zéro parce que \( y_1 \) et \( y_2 \) sont solutions de l’équation homogène. Ainsi, on obtient bien \( a y_p'' + b y_p' + c y_p = g(x) \).

Le système \( (S) \) est un système linéaire en \( \lambda' \) et \( \mu' \). Une fois \( \lambda' \) et \( \mu' \) trouvées, on obtient \( \lambda \) et \( \mu \) par intégration, puis \( y_p \).

On veut résoudre, sur l’intervalle \( \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[ \), l’équation :

\( y''(x) + y(x) = \dfrac{1}{\cos x}. \)

L’équation homogène associée est \( y'' + y = 0 \), dont les solutions sont bien connues :

\( y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x, \quad C_1,C_2 \in \mathbb{R}. \)

On prend donc \( y_1(x) = \cos x \), \( y_2(x) = \sin x \). Ici, \( a = 1 \) et \( g(x) = \dfrac{1}{\cos x} \). On cherche une solution particulière sous la forme :

\( y_p(x) = \lambda(x)\cos x + \mu(x)\sin x. \)

Le système \( (S) \) devient :

\( \begin{cases} \lambda'(x)\cos x + \mu'(x)\sin x = 0,\\[4pt] -\lambda'(x)\sin x + \mu'(x)\cos x = \dfrac{1}{\cos x}. \end{cases} \)

On combine ces équations pour déterminer \( \mu'(x) \). En multipliant la première par \( \sin x \) et la seconde par \( \cos x \), puis en additionnant, on obtient :

\( \mu'(x)\bigl(\sin^2 x + \cos^2 x\bigr) = 1, \)

donc \( \mu'(x) = 1 \) et par intégration on peut choisir \( \mu(x) = x \) (la constante d’intégration sera absorbée dans la solution homogène).

En reportant dans la première équation : \( \lambda'(x)\cos x + 1\cdot \sin x = 0 \), donc \( \lambda'(x) = -\dfrac{\sin x}{\cos x} = -\tan x. \) On intègre : \( \lambda(x) = \ln(\cos x) \) (sur l’intervalle choisi, \( \cos x > 0 \), donc le logarithme est bien défini).

On obtient ainsi une solution particulière :

\( y_p(x) = \ln(\cos x)\,\cos x + x\sin x. \)

Finalement, la solution générale sur \( \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[ \) est :

\( y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \ln(\cos x)\,\cos x + x\sin x, \quad C_1,C_2 \in \mathbb{R}. \)