Définition (dimension finie).

Un espace vectoriel \(E\) sur un corps \(K\) est dit de dimension finie s’il existe une famille finie de vecteurs qui engendre \(E\), autrement dit si \(E\) est engendré par un nombre fini de vecteurs.

Définition (dimension).

Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes ses bases ont le même nombre d’éléments (c’est le “théorème de la dimension”).

On appelle dimension de \(E\), et on note \(\dim(E)\), le nombre de vecteurs dans une (donc toute) base de \(E\).

Exemple : \(\dim(\mathbb{R}^3)=3\) et \(\dim(K^n)=n\).

Proposition.

Si \(E\) est de dimension finie et \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), alors :

• \(F\) est aussi de dimension finie.
• On a l’inégalité \(\dim(F)\le \dim(E)\).
• Et \(\dim(F)=\dim(E)\) si et seulement si \(F=E\).

Remarque pratique. Si \(\dim(E)=n\), alors pour montrer qu’une famille de \(n\) vecteurs est une base de \(E\), il suffit de montrer qu’elle est libre ou bien qu’elle est génératrice (l’un des deux suffit, grâce à la finitude de la dimension).

Dans \(K^n\), les vecteurs \(e_1=(1,0,\dots,0)\), \(e_2=(0,1,0,\dots,0)\), ..., \(e_n=(0,\dots,0,1)\) forment une base appelée base canonique.

Montrons que la famille \(B=\{(1,2,3),(2,9,0),(3,3,4)\}\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). On sait que \(\dim(\mathbb{R}^3)=3\), et comme \(\mathrm{card}(B)=3\), il suffit de montrer que \(B\) est libre (ou génératrice).

Supposons : \[ \lambda_1(1,2,3)+\lambda_2(2,9,0)+\lambda_3(3,3,4)=(0,0,0). \] En identifiant les composantes, on obtient :

\( \begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 + 3\lambda_3 = 0,\\ 2\lambda_1 + 9\lambda_2 + 3\lambda_3 = 0,\\ 3\lambda_1 + 4\lambda_3 = 0. \end{cases} \)

En résolvant ce système, on trouve nécessairement \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\). Donc la famille est libre, et comme elle a 3 vecteurs dans \(\mathbb{R}^3\), c’est une base de \(\mathbb{R}^3\).