Sous-espaces supplémentaires : somme, somme directe, complément
Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel, et soient \(F_1\) et \(F_2\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\).
Définition (somme de sous-espaces).
On appelle somme de \(F_1\) et \(F_2\) l’ensemble noté \(F_1+F_2\) défini par :
\( F_1 + F_2 = \{ x_1 + x_2 \mid x_1\in F_1,\ x_2\in F_2 \}. \)
Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Somme directe
Définition (somme directe interne).
On dit que la somme \(F_1+F_2\) est une somme directe, notée \(F_1\oplus F_2\), si elle vérifie en plus :
\( F_1 \oplus F_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \bigl(F_1+F_2\bigr)\ \text{et}\ F_1\cap F_2=\{0_E\}. \)
Dans ce cas, toute écriture \(x=x_1+x_2\) avec \(x_1\in F_1\), \(x_2\in F_2\) est unique, ce qui est une caractérisation équivalente de la somme directe.
Sous-espaces supplémentaires
Définition (supplémentaires).
On dit que \(F_1\) et \(F_2\) sont des sous-espaces supplémentaires dans \(E\) si leur somme est directe et égale à tout l’espace :
\( E = F_1 \oplus F_2. \)
Autrement dit : tout vecteur \(x\in E\) s’écrit de manière unique sous la forme \(x=x_1+x_2\) avec \(x_1\in F_1\) et \(x_2\in F_2\).
Existence d’un supplémentaire (dimension finie)
Proposition (admis / classique).
Si \(E\) est de dimension finie, alors tout sous-espace \(F_1\subset E\) admet au moins un sous-espace supplémentaire : il existe \(F_2\subset E\) tel que \(E=F_1\oplus F_2\).
Une manière concrète de construire un supplémentaire est : prendre une base de \(F_1\), la compléter en une base de \(E\), puis définir \(F_2\) comme l’espace engendré par les vecteurs ajoutés.
Critère via les bases
Soient \(B_1\) une base de \(F_1\) et \(B_2\) une base de \(F_2\). Alors, en dimension finie, un critère très utile est :
\( E = F_1 \oplus F_2 \quad \Longleftrightarrow \quad B_1 \cup B_2 \text{ est une base de } E. \)
Intuitivement : “pas de recouvrement” (intersection triviale) + “tout l’espace est couvert” (engendrement) se traduit par “la réunion des bases est une base”.
Formules de dimension
Lorsque \(E\) est de dimension finie, on dispose de la formule de Grassmann :
\( \dim(F_1+F_2) = \dim(F_1) + \dim(F_2) - \dim(F_1\cap F_2). \)
En particulier, si \(E=F_1\oplus F_2\), alors \(F_1\cap F_2=\{0_E\}\) et donc :
\( \dim(E) = \dim(F_1) + \dim(F_2). \)
Ces identités sont des outils standards pour vérifier qu’une somme est directe et égale à \(E\).