Soit \( n \) un entier naturel tel que \( n \ge 2 \). On appelle fonction réelle de \( n \) variables toute fonction \( f \) définie d’un sous-ensemble \( D \subset \mathbb{R}^n \) vers \( \mathbb{R} \).
On écrit :
\( f : D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \)
\( (x_1,x_2,\dots,x_n) \mapsto f(x_1,x_2,\dots,x_n) \)
Exemple
Voici quelques exemples de fonctions pour \( n=2 \) et \( n=3 \).
1.
\( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \)
\( (x,y) \mapsto f(x,y)=\dfrac{2}{1+x^2+y^2} \)
2.
\( h : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \)
\( (x,y) \mapsto h(x,y)=x+e^{1+y} \)
3.
\( g : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \)
\( (x,y,z) \mapsto g(x,y,z)=x^3+yz+2 \)
4.
\( L : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \)
\( (x,y) \mapsto L(x,y)=\dfrac{y}{1+x^2} \)
5.
\( M : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \)
\( (x,y,z) \mapsto M(x,y,z)=\dfrac{z+2}{1+x^2+y^2+z^2} \)
Définition : Domaine de définition
On appelle domaine de définition d’une fonction \( f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) l’ensemble
\( D_f=\{x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n \;|\; f(x)\ \text{est défini}\} \)
Définition : Image d’une fonction
L’image de \( f \) est l’ensemble des valeurs prises par la fonction :
\( f(D_f)=\{f(x)\;|\;x\in D_f\} \)
Définition : Représentation graphique
La représentation graphique (ou surface représentative) d’une fonction \( f:D_f\subset\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \) est l’ensemble
\( \{(x,y,f(x,y))\ |\ (x,y)\in D_f\} \)
Exemple
La fonction
\( f(x,y)=\dfrac{x^3+xy+y^2+2}{1+x^2+y^2} \)
est définie sur \( D=\mathbb{R}^2 \) car pour tout \( (x,y)\in\mathbb{R}^2 \) on a
\( 1+x^2+y^2 \neq 0 \).
Exemple
La fonction
\( g(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} \)
est définie sur le disque
\( D_g=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \;|\; x^2+y^2 \le 1\} \).
Fonctions partielles
Définition
Soit \( f \) une fonction définie sur \( D\subset\mathbb{R}^2 \) à valeurs dans \( \mathbb{R} \) et soit \( A=(a_1,a_2)\in D \).
Les fonctions partielles associées à \( f \) au point \( A \) sont
\( x_1 \mapsto f(x_1,a_2) \)
\( x_2 \mapsto f(a_1,x_2) \)
définies sur des intervalles ouverts contenant respectivement \( a_1 \) et \( a_2 \).
Exemple
Considérons la fonction
\( f(x,y)=5+x^2-y^2 \)
au point \( A=(2,4) \).
Les deux fonctions partielles sont :
\( f_1(x)=f(x,4)=x^2-11 \)
\( f_2(y)=f(2,y)=9-y^2 \)
Exemple
Pour la fonction
\( f(x,y,z)=2x^2+y^2+z+3 \)
au point \( A=(2,1,3) \), on obtient :
\( f_1(x)=2x^2+7 \)
\( f_2(y)=y^2+14 \)
\( f_3(z)=z+12 \)