\documentclass{article} \usepackage{amsmath, amssymb} \begin{document} \[ r(h) \text{ est le coefficient de } X_{t-h} \text{ dans } \operatorname{EL}(X_t \mid X_{t-1}, \dots, X_{t-h}) \] ou de manière plus compacte : \[ r(h) = \operatorname{Coeff}_{X_{t-h}}\bigl( \operatorname{EL}(X_t \mid X_{t-1}, \dots, X_{t-h}) \bigr) \] \section*{Démonstration : Propriété de l'autocorrélation partielle \( r(h) \) pour un AR(p)} Soit \( r(h) \) le coefficient de \( X_{t-h} \) dans l'espérance linéaire (projection orthogonale) de \( X_t \) sur \( X_{t-1}, \dots, X_{t-h} \), notée : \[ r(h) = \text{EL}(X_t \mid X_{t-1}, \dots, X_{t-h}). \] \subsection*{Modèle AR(p)} On suppose que \( X_t \) suit un processus AR(p) : \[ X_t = \mu + \phi_1 X_{t-1} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t, \] où \( \varepsilon_t \) est un bruit blanc orthogonale aux valeurs passées : \( \mathbb{E}[\varepsilon_t \mid X_{t-1}, X_{t-2}, \dots] = 0 \). \subsection*{Projection pour \( h \ge p \)} Pour \( h \ge p \), considérons la projection sur \( X_{t-1}, \dots, X_{t-h} \). On décompose \( X_t \) comme suit : \[ X_t = \mu + \phi_1 X_{t-1} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t. \] L'espérance linéaire s'écrit : \[ \text{EL}(X_t \mid X_{t-1}, \dots, X_{t-h}) = \mu + \phi_1 X_{t-1} + \dots + \phi_p X_{t-p} + \underbrace{\text{EL}(\varepsilon_t \mid X_{t-1}, \dots, X_{t-h})}_{=0}. \] La nullité du dernier terme vient du fait que \( \varepsilon_t \) est orthogonal à toutes les variables passées \( X_{t-1}, X_{t-2}, \dots \), donc en particulier à \( X_{t-1}, \dots, X_{t-h} \). Ainsi : \[ \text{EL}(X_t \mid X_{t-1}, \dots, X_{t-h}) = \mu + \phi_1 X_{t-1} + \dots + \phi_p X_{t-p}. \] \subsection*{Cas \( h > p \)} Si \( h > p \), la variable \( X_{t-h} \) n'apparaît pas dans l'expression \( \mu + \phi_1 X_{t-1} + \dots + \phi_p X_{t-p} \). Par conséquent, son coefficient dans la projection, c'est-à-dire l'autocorrélation partielle \( r(h) \), est nul. \[ \boxed{r(h) = 0 \quad \text{pour tout} \quad h > p.} \] \subsection*{Cas \( h = p \)} Si \( h = p \), alors \( X_{t-p} \) apparaît explicitement avec le coefficient \( \phi_p \). Donc : \[ r(p) = \phi_p \neq 0. \] \section*{Autocorrélation partielle par la méthode des déterminants} Soit \( \rho(k) = \frac{\gamma(k)}{\gamma(0)} \) la fonction d'autocorrélation d'un processus stationnaire. \subsection*{Définition} L'autocorrélation partielle \( r(h) \) est donnée par : \[ \boxed{r(h) = \frac{\det(\mathbf{P}_h^*)}{\det(\mathbf{P}_h)}} \] où : \begin{itemize} \item \( \mathbf{P}_h \) est la matrice d'autocorrélation d'ordre \( h \) : \[ \mathbf{P}_h = \begin{pmatrix} 1 & \rho(1) & \rho(2) & \cdots & \rho(h-1) \\ \rho(1) & 1 & \rho(1) & \cdots & \rho(h-2) \\ \rho(2) & \rho(1) & 1 & \cdots & \rho(h-3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho(h-1) & \rho(h-2) & \rho(h-3) & \cdots & 1 \end{pmatrix} \] \item \( \mathbf{P}_h^* \) est la même matrice où la dernière colonne est remplacée par le vecteur des autocorrélations \( (\rho(1), \rho(2), \dots, \rho(h))^\top \) : \[ \mathbf{P}_h^* = \begin{pmatrix} 1 & \rho(1) & \rho(2) & \cdots & \rho(1) \\ \rho(1) & 1 & \rho(1) & \cdots & \rho(2) \\ \rho(2) & \rho(1) & 1 & \cdots & \rho(3) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho(h-1) & \rho(h-2) & \rho(h-3) & \cdots & \rho(h) \end{pmatrix} \] \end{itemize} \subsection*{Exemples} Pour \( h = 1 \) : \[ r(1) = \frac{\det([\rho(1)])}{\det([1])} = \rho(1) \] Pour \( h = 2 \) : \[ r(2) = \frac{\det\begin{pmatrix} 1 & \rho(1) \\ \rho(1) & \rho(2) \end{pmatrix}} {\det\begin{pmatrix} 1 & \rho(1) \\ \rho(1) & 1 \end{pmatrix}} = \frac{\rho(2) - \rho(1)^2}{1 - \rho(1)^2} \] Pour \( h = 3 \) : \[ r(3) = \frac{\det\begin{pmatrix} 1 & \rho(1) & \rho(1) \\ \rho(1) & 1 & \rho(2) \\ \rho(2) & \rho(1) & \rho(3) \end{pmatrix}} {\det\begin{pmatrix} 1 & \rho(1) & \rho(2) \\ \rho(1) & 1 & \rho(1) \\ \rho(2) & \rho(1) & 1 \end{pmatrix}} \] \\\\ \subsection*{(c) Conditional expectation and variance tend to unconditional moments} Let \( X_t \) be a stationary process with a Wold decomposition: \[ X_t = \mu_X + \sum_{i=0}^{\infty} \psi_i \epsilon_{t-i}, \] where \( u_t \) is a white noise process with variance \( \sigma_u^2 \) and \( \psi_0 = 1 \). As is often done to simplify expressions, we center this variable: \[ x_t = X_t - \mu_X. \] The unconditional variance of this variable is given by: \[ \text{Var}(x_t) = \sigma_{\varepsilon} ^2 \sum_{i=0}^{\infty} \psi_i^2. \] At time \( t \), the optimal forecast of \( x \) at horizon \( h \) is: \[ _t x_{t+h} = \mathbb{E}_t[x_{t+h}] = \mathbb{E}_t\left[ \sum_{i=0}^{\infty} \psi_i \varepsilon_{t+h-i} \right] = \psi_h \varepsilon_t + \psi_{h+1} \varepsilon_{t-1} + \cdots \] As previously seen, the associated forecast error: \[ x_{t+h} - {}_t x_{t+h} = \sum_{i=0}^{h+1} \psi_i \varepsilon_{t+h-i} \] has conditional expectation zero at time \( t \). Thus, \[ \text{Var}_t(x_{t+h} - {}_t x_{t+h}) = \sigma_u^2 \sum_{i=0}^{h+1} \psi_i^2. \] If we let the forecast horizon tend to infinity, then: \[ \lim_{h \to \infty} \text{Var}_t(x_{t+h} - {}_t x_{t+h}) = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{i=0}^{\infty} \psi_i^2 = \text{Var}(x_t). \] we can write: \[ \lim_{h \to \infty} \text{Var}_t(x_{t+h} - {}_t x_{t+h}) = \text{Var}(x_{t+h}) \] \[ \lim_{h \to \infty} \mathbb{E}_t\left[(x_{t+h} - {}_t x_{t+h})^2\right] = \mathbb{E}\left[(x_{t+h} - \mathbb{E}[x_t])^2\right] \] \[ \Rightarrow \quad \lim_{h \to \infty} {}_t x_{t+h} = \mathbb{E}(x_t). \] \subsection{SARIMA} Example \[ X_t = X_{t-1} -X_{t-13}+X_{t-12}+\varepsilon_t -\varepsilon_{t-12} \] On peut factoriser par regroupement astucieux : \[ \phi(L) = 1 - L + L^{13} - L^{12} \] \[ = (1 - L^{12}) + (L^{13} - L) \] \[ = (1 - L^{12}) + L(L^{12} - 1) \] Comme \(L^{12} - 1 = -(1 - L^{12})\), on obtient : \[ = (1 - L^{12}) - L(1 - L^{12}) \] \[ = (1 - L^{12})(1 - L) \] \end{document}
Modifié le: dimanche 3 mai 2026, 10:03