Chapitre I……………Décomposition Fréquentielle d’un Signal Périodique non Sinusoïdal

Chapitre I : Décomposition d’un signal périodique en Serie de Fourier

I.1 Décomposition en série de Fourier des grandeurs électrique

Au début du 19 siècle, Joseph Fourier a montré qu’un signal périodique de fréquence f peut être décomposé avec des signaux sinusoïdaux de fréquences multiples entiers de f. Un signal périodique de fréquence f et de période T=1/f peut donc s’écrire comme la somme de :

§ Un terme constant qui correspond à la composante continue (c'est-à-dire la valeur moyenne dans le temps)

§ Un terme sinusoïdal de fréquence f (c’est le fondamental ou harmonique de rang 1)

§ Un terme sinusoïdal de fréquence 2f (harmonique de rang 2)

§ Un terme sinusoïdal de fréquence 3f (harmonique de rang 3)

§ Un terme sinusoïdal de fréquence 3f (harmonique de rang 4)

§ etc …

Dans le cas d’un courant électrique de fréquence f:

Avec;

* w = 2pf = 2p/T : pulsation du fondamental (en radians par seconde)

* I_n : valeur efficace de l’harmonique de rang n (en ampères)

* j_n: phase à l’origine de l’harmonique de rang n (en radians)

Pour la tension électrique v de fréquence f :

* w = 2pf = 2p/T : pulsation du fondamental (en radians par seconde)

* V_n : valeur efficace de l’harmonique de rang n (en volts)

* Φ_n + j_n : phase à l’origine de l’harmonique de rang n (en radians)

* j_n: déphasage entre l’harmonique de rang n de la tension et l’harmonique de rang n du courant (en radians).

Tout courant périodique déformé peut être décomposé en une addition de courants sinusoïdaux présentant des amplitudes, fréquences et phases différentes. La fréquence la plus basse est appelée “fondamental”. Toutes les autres sont un multiple du fondamental et sont appelées “harmoniques” comme sont montres dans la figure 1.2.

Figure 1.2 : Forme d`onde d`un signal déformé par des perturbations harmoniques

I.2 Valeur efficace (True RMS)

Par définition, la valeur efficace d’un courant périodique i(t) est :

On montre que :

Avec : I_nla valeur efficace de l’harmonique de rang n (en ampères)

Par définition, la valeur efficace d’une tension périodique v(t) est :

Avec : V_n la valeur efficace de l’harmonique de rang n (en volts)

I.3 Valeur efficace des harmoniques

Il s’agit de la valeur efficace de l’ensemble des harmoniques (à partir du rang 2).

Valeur efficace des courants harmoniques :

En globale, on a ;

I.4 Taux de distorsion harmonique THD (en %)

Le taux de distorsion d`un signal périodique traduit l`impacte des perturbations harmoniques sur la forme d`onde, ainsi, cautionne le spectre harmonique qui correspond au facteur de puissance de la qualité de l`énergie électrique.

Par définition le taux de distorsion est donne par l’expression suivante :

Le taux de distorsion du courant en % :

Le taux de distorsion de la tension en % :

I.5 Puissance apparente S (en VA) de la charge

La puissance apparente de la charge est par définition :

S = m.V.I

- m est le nombre de phases du réseau considéré.

- V tension de phase.

- I, courant de phase

I.6 Puissance active P (en watts) consommée par la charge

Par définition, c’est la moyenne dans le temps de la puissance instantanée consommée par la charge. C’est aussi la moyenne sur une période (T = 1/f) de la puissance instantanée :

Cependant, l’expression générale de la puissance active instantanée, est donnée par :

P=P_moyP₁+P₂+P₃+………..P_n

§ P_moy contribution des composantes continues.

§ V₁.I₁ .Cosj₁; contribution des fondamentaux.

§ V₂.I₂ .Cosj₂ ; contribution des harmoniques de rang 2

§ V₃.I₃ .Cosj₃ ; contribution des harmoniques de rang 3

§ ……………………………………………………….

§ V_n.I_n .Cosj_n ; contribution des harmoniques de rang n

I.7 Puissance réactive Q (en vars) consommée par la charge

Pour la plupart des charges électriques comme les moteurs, le courant I est en retard sur la tension V d'un angle φ. Si les courants et tensions sont des signaux parfaitement sinusoïdaux, on peut utiliser un diagramme de représentation vectorielle. Dans ce diagramme vectoriel, le vecteur courant peut être décomposé en deux composantes: l'une en phase avec le vecteur tension (composante Ia), l'autre en quadrature (en retard de 90 degrés) avec le vecteur tension (composante Ir).

Q=Q₁+Q₂+Q₃+……….……..Q_n

§ Q = V₁.I₁.Sinj₁; contribution des fondamentaux.

§ Q₂ = V₂.I₂.Sinj₂; contribution des harmoniques de rang 2

§ Q₃ = V₃.I₃.Sinj₃; contribution des harmoniques de rang 3

§ …………………………………………………………

§ Q_n= V_n.I_n.Sinj_n; contribution des harmoniques de rang n

I.8 Facteur de puissance PF (Power Factor) de la charge

Le facteur de puissance est un paramètre déterminant de la qualité de l`énergie électrique. Ainsi, le facteur de puissance doit être conforme aux exigences dictes conventionnellement entre le consommateur et le fournisseur, suivant une normalisation fixant cette qualité d`énergie.

Par définition, le facteur de puissance est un indicateur de la qualité de la conception et de la gestion d'une installation électrique. Il repose sur deux notions très basiques : les puissances active et apparente.

La puissance active P (kW) est la puissance réelle transmise à des charges telles que moteurs, lampes, appareils de chauffage, ordinateurs. La puissance active est transformée en énergie mécanique, chaleur ou lumière. Dans un circuit où la tension efficace appliquée est V_effet la valeur efficace du courant est I_eff,la puissance apparente S (kVA) est le produit: V_eff . I_eff.

Le facteur de puissance F_P est le rapport de la puissance active P (kW) sur la puissance apparente S (kVA) :

Avec F_P ≤ 1

I.9 Facteur de déplacement DPF (Displacement Power Factor)

Par définition le facteur de déplacement est donne par :

j₁ désigne le déphasage entre le fondamental de la tension et le fondamental du courant.

I.10 Puissance déformante

Cette puissance désigne la puissance qui contribue a la déformation du signal affecte par la pollution harmoniques.

Avec :

- S² la puissance apparente en VA

- P² la puissance active en W.

- Q² la puissance réactive en VAR.

- D² la puissance déformante en VAD