Équations Différentielles

1. Équations à Variables Séparables

Forme générale:

y' = f(x) · g(y)

Séparer les variables: dy/g(y) = f(x)dx
Intégrer les deux membres
Résoudre pour y si possible
Ajouter la constante d'intégration C

Exemple: y' = xy → dy/y = x dx → ln|y| = x²/2 + C

2. Équations Linéaires du Premier Ordre

Forme générale:

y' + a(x)y = b(x)

Résoudre l'équation homogène y' + a(x)y = 0
Solution homogène: yₕ = C·exp(-∫a(x)dx)
Chercher une solution particulière par variation de la constante
Solution générale: y = yₕ + yₚ

3. Équations de Bernoulli

Forme générale:

y' + a(x)y = b(x)y^n (n ≠ 0, 1)

Diviser par y^n
Poser z = y^(1-n)
Obtenir une équation linéaire en z
Résoudre et revenir à y

4. Équations Homogènes

Forme générale:

y' = f(y/x)

Poser u = y/x, donc y = xu
Calculer y' = u + x·u'
Substituer dans l'équation
Obtenir une équation à variables séparables en u

Exercice 1

Variables Séparables

Résoudre l'équation différentielle:

y' = 2xy

avec la condition initiale y(0) = 1

✅ Solution détaillée

Étape 1: Séparer les variables
dy/y = 2x dx

Étape 2: Intégrer les deux membres
∫dy/y = ∫2x dx
ln|y| = x² + C₁

Étape 3: Résoudre pour y
|y| = e^(x² + C₁) = e^(C₁)·e^(x²)
y = C·e^(x²) où C = ±e^(C₁)

Étape 4: Appliquer la condition initiale
y(0) = 1 ⟹ C·e^0 = 1 ⟹ C = 1

Réponse finale: y = e^(x²)

Exercice 2

Linéaire 1er Ordre

Résoudre l'équation différentielle:

y' + 2y = 4x

✅ Solution détaillée

Étape 1: Résoudre l'équation homogène y' + 2y = 0
dy/y = -2dx ⟹ ln|y| = -2x + C₁
yₕ = Ce^(-2x)

Étape 2: Chercher une solution particulière
On essaie yₚ = ax + b
yₚ' = a
a + 2(ax + b) = 4x
a + 2ax + 2b = 4x

Étape 3: Identifier les coefficients
2a = 4 ⟹ a = 2
a + 2b = 0 ⟹ 2 + 2b = 0 ⟹ b = -1
yₚ = 2x - 1

Réponse finale: y = Ce^(-2x) + 2x - 1

Exercice 3

Variables Séparables

Résoudre l'équation différentielle:

y' = (1 + y²)cos(x)

✅ Solution détaillée

Étape 1: Séparer les variables
dy/(1 + y²) = cos(x) dx

Étape 2: Intégrer
∫dy/(1 + y²) = ∫cos(x) dx
arctan(y) = sin(x) + C

Étape 3: Résoudre pour y
y = tan(sin(x) + C)

Réponse finale: y = tan(sin(x) + C)

Exercice 4

Homogène

Résoudre l'équation différentielle:

xy' = y + x

✅ Solution détaillée

Étape 1: Réécrire l'équation
y' = y/x + 1 = f(y/x)

Étape 2: Poser u = y/x, donc y = xu
y' = u + xu'

Étape 3: Substituer
u + xu' = u + 1
xu' = 1
du = dx/x

Étape 4: Intégrer
u = ln|x| + C
y/x = ln|x| + C

Réponse finale: y = x(ln|x| + C)

Exercice 5

Bernoulli

Résoudre l'équation différentielle:

y' + y = xy²

✅ Solution détaillée

Étape 1: C'est une équation de Bernoulli avec n = 2
Diviser par y²: y'/y² + 1/y = x

Étape 2: Poser z = y^(-1) = 1/y
z' = -y'/y²
Donc: -z' + z = x ou z' - z = -x

Étape 3: Résoudre l'équation linéaire en z
Équation homogène: zₕ = Ce^x
Solution particulière: on essaie zₚ = ax + b
a - (ax + b) = -x ⟹ a = 1, b = -1
z = Ce^x + x - 1

Étape 4: Revenir à y
y = 1/z = 1/(Ce^x + x - 1)

Réponse finale: y = 1/(Ce^x + x - 1)

Exercice 6

Linéaire avec CI

Résoudre le problème de Cauchy:

y' - 3y = e^(2x), y(0) = 2

✅ Solution détaillée

Étape 1: Solution homogène
y' - 3y = 0 ⟹ yₕ = Ce^(3x)

Étape 2: Solution particulière
On cherche yₚ = Ae^(2x)
yₚ' = 2Ae^(2x)
2Ae^(2x) - 3Ae^(2x) = e^(2x)
-Ae^(2x) = e^(2x) ⟹ A = -1
yₚ = -e^(2x)

Étape 3: Solution générale
y = Ce^(3x) - e^(2x)

Étape 4: Condition initiale
y(0) = 2 ⟹ C - 1 = 2 ⟹ C = 3

Réponse finale: y = 3e^(3x) - e^(2x)

Exercice 7

Variables Séparables

Résoudre l'équation différentielle:

y'√(1 - y²) = x

✅ Solution détaillée

Étape 1: Séparer les variables
√(1 - y²) dy = x dx

Étape 2: Intégrer
∫√(1 - y²) dy = ∫x dx
Pour le membre de gauche, on utilise la substitution y = sin(θ)
∫cos²(θ) dθ = (1/2)(θ + sin(θ)cos(θ))
= (1/2)(arcsin(y) + y√(1 - y²))

Étape 3: Égaliser
(1/2)(arcsin(y) + y√(1 - y²)) = x²/2 + C
arcsin(y) + y√(1 - y²) = x² + C'

Réponse finale: Solution implicite: arcsin(y) + y√(1 - y²) = x² + C

Exercice 8

Linéaire

Résoudre l'équation différentielle:

xy' + y = x³

✅ Solution détaillée

Étape 1: Forme standard (x ≠ 0)
y' + y/x = x²

Étape 2: Solution homogène
y' + y/x = 0
dy/y = -dx/x
ln|y| = -ln|x| + C₁
yₕ = C/x

Étape 3: Solution particulière
On cherche yₚ = ax³ + bx² + cx + d
yₚ' = 3ax² + 2bx + c
3ax² + 2bx + c + (ax³ + bx² + cx + d)/x = x²
3ax² + 2bx + c + ax² + bx + c + d/x = x²
Après simplification: yₚ = x³/4

Réponse finale: y = C/x + x³/4

QCM 1: Identification du type

Quelle est le type de l'équation: y' = 3y + 2x ?

A) Variables séparables

B) Linéaire du premier ordre

C) Équation de Bernoulli

D) Équation homogène

QCM 2: Solution générale

La solution de y' = y est:

A) y = x + C

B) y = Ce^x

C) y = Cx

D) y = C sin(x)

QCM 3: Variables séparables

Laquelle est une équation à variables séparables?

A) y' + xy = x²

B) y' = xy²

C) y' + 2y = 3

D) xy' + y = 0

QCM 4: Méthode de résolution

Pour résoudre y' + a(x)y = b(x), on utilise:

A) La séparation directe des variables

B) La méthode de variation de la constante

C) Le changement u = y/x

D) Le changement z = y^n

QCM 5: Condition initiale

Si y' = 2y et y(0) = 3, alors C vaut:

A) 0

B) 2

C) 3

D) 6

QCM 6: Équation homogène

Une équation de type y' = f(y/x) est appelée:

A) Équation linéaire

B) Équation homogène

C) Équation de Bernoulli

D) Équation exacte

QCM 7: Bernoulli

L'équation y' + y = xy³ est de type:

A) Linéaire

B) Variables séparables

C) Bernoulli avec n = 3

D) Homogène

QCM 8: Intégrale

L'intégrale de dy/y est:

A) y²/2

B) ln|y|

C) 1/y

D) e^y

🧪 Testez vos connaissances

Répondez aux questions suivantes pour évaluer votre compréhension

Question 1: Résolvez y' = 3y

Question 2: Quelle est la forme générale d'une équation linéaire du premier ordre?

Question 3: Pour l'équation y' = y², quel type est-ce?

Question 4: Si y' + 2y = 0, la solution homogène est yₕ = ?

Question 5: Pour résoudre y' = f(y/x), quel changement de variable utilise-t-on?

Question 6: L'équation y' + y = y³ est de type:

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📐 Équations Différentielles d'Ordre 1

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