Équations Différentielles

1. Équations Linéaires Homogènes à Coefficients Constants

Forme générale:

ay'' + by' + cy = 0

Équation caractéristique: ar² + br + c = 0

Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac
Déterminer les racines r₁ et r₂
Appliquer la formule selon le cas

Cas 1: Δ > 0 (deux racines réelles distinctes r₁ ≠ r₂)

y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)

Cas 2: Δ = 0 (racine double r₁ = r₂ = r)

y = (C₁ + C₂x)e^(rx)

Cas 3: Δ < 0 (racines complexes α ± iβ)

y = e^(αx)[C₁cos(βx) + C₂sin(βx)]

où α = -b/(2a) et β = √|Δ|/(2a)

2. Équations Linéaires avec Second Membre

Forme générale:

ay'' + by' + cy = f(x)

Trouver la solution homogène yₕ (voir méthode 1)
Chercher une solution particulière yₚ selon f(x)
Solution générale: y = yₕ + yₚ

Formes usuelles de yₚ:

Si f(x) = Polynôme: yₚ = polynôme de même degré
Exemple: si f(x) = 3x² + 2x, essayer yₚ = ax² + bx + c

Si f(x) = Ae^(kx): yₚ = Be^(kx)
(ou x·Be^(kx) si k est racine simple, x²Be^(kx) si racine double)

Si f(x) = Acos(ωx) ou Bsin(ωx):
yₚ = Ccos(ωx) + Dsin(ωx)

3. Méthode de Variation des Constantes

Pour:

y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)

Trouver deux solutions y₁ et y₂ de l'équation homogène
Vérifier que le Wronskien W = y₁y₂' - y₂y₁' ≠ 0
Chercher yₚ = u₁(x)y₁ + u₂(x)y₂
Calculer u₁' = -y₂f/W et u₂' = y₁f/W
Intégrer pour obtenir u₁ et u₂

4. Équation d'Euler

Forme générale:

ax²y'' + bxy' + cy = 0

Poser x = e^t (ou t = ln(x))
Transformer: y' = (1/x)dy/dt, y'' = (1/x²)(d²y/dt² - dy/dt)
Obtenir une équation à coefficients constants
Résoudre puis revenir à x

Exercice 1

Homogène - Δ > 0

Résoudre l'équation différentielle:

y'' - 5y' + 6y = 0

✅ Solution détaillée

Étape 1: Équation caractéristique
r² - 5r + 6 = 0

Étape 2: Calcul du discriminant
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0

Étape 3: Racines
r₁ = (5 + 1)/2 = 3
r₂ = (5 - 1)/2 = 2

Étape 4: Solution générale (Δ > 0)
Réponse finale: y = C₁e^(3x) + C₂e^(2x)

Exercice 2

Homogène - Δ = 0

Résoudre l'équation différentielle:

y'' - 4y' + 4y = 0

✅ Solution détaillée

Étape 1: Équation caractéristique
r² - 4r + 4 = 0

Étape 2: Calcul du discriminant
Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0

Étape 3: Racine double
r = 4/2 = 2

Étape 4: Solution générale (Δ = 0)
Réponse finale: y = (C₁ + C₂x)e^(2x)

Exercice 3

Homogène - Δ < 0

Résoudre l'équation différentielle:

y'' + 2y' + 5y = 0

✅ Solution détaillée

Étape 1: Équation caractéristique
r² + 2r + 5 = 0

Étape 2: Calcul du discriminant
Δ = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0

Étape 3: Racines complexes
α = -b/(2a) = -2/2 = -1
β = √|Δ|/(2a) = √16/2 = 4/2 = 2
Racines: r = -1 ± 2i

Étape 4: Solution générale (Δ < 0)
Réponse finale: y = e^(-x)[C₁cos(2x) + C₂sin(2x)]

Exercice 4

Avec Second Membre - Polynôme

Résoudre l'équation différentielle:

y'' - 3y' + 2y = 4x + 6

✅ Solution détaillée

Étape 1: Solution homogène
r² - 3r + 2 = 0 ⟹ (r-1)(r-2) = 0
r₁ = 1, r₂ = 2
yₕ = C₁e^x + C₂e^(2x)

Étape 2: Solution particulière
f(x) = 4x + 6 (polynôme degré 1)
On essaie: yₚ = ax + b
yₚ' = a, yₚ'' = 0

Étape 3: Substitution
0 - 3a + 2(ax + b) = 4x + 6
2ax + (2b - 3a) = 4x + 6

Étape 4: Identification
2a = 4 ⟹ a = 2
2b - 3(2) = 6 ⟹ 2b = 12 ⟹ b = 6
yₚ = 2x + 6

Réponse finale: y = C₁e^x + C₂e^(2x) + 2x + 6

Exercice 5

Avec Second Membre - Exponentielle

Résoudre l'équation différentielle:

y'' - y' - 2y = 3e^(2x)

✅ Solution détaillée

Étape 1: Solution homogène
r² - r - 2 = 0 ⟹ (r-2)(r+1) = 0
r₁ = 2, r₂ = -1
yₕ = C₁e^(2x) + C₂e^(-x)

Étape 2: Solution particulière
f(x) = 3e^(2x)
k = 2 est racine simple ⟹ yₚ = Axe^(2x)
yₚ' = A(e^(2x) + 2xe^(2x)) = Ae^(2x)(1 + 2x)
yₚ'' = A[2e^(2x)(1 + 2x) + 2e^(2x)] = Ae^(2x)(4 + 4x)

Étape 3: Substitution
Ae^(2x)(4 + 4x) - Ae^(2x)(1 + 2x) - 2Axe^(2x) = 3e^(2x)
A[(4 + 4x) - (1 + 2x) - 2x] = 3
A[3] = 3 ⟹ A = 1
yₚ = xe^(2x)

Réponse finale: y = C₁e^(2x) + C₂e^(-x) + xe^(2x)

Exercice 6

Avec Condition Initiale

Résoudre le problème de Cauchy:

y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 2

✅ Solution détaillée

Étape 1: Équation caractéristique
r² + 1 = 0 ⟹ r² = -1
r = ±i (racines complexes: α = 0, β = 1)

Étape 2: Solution générale
y = e^(0x)[C₁cos(x) + C₂sin(x)]
y = C₁cos(x) + C₂sin(x)
y' = -C₁sin(x) + C₂cos(x)

Étape 3: Condition y(0) = 1
C₁cos(0) + C₂sin(0) = 1
C₁ = 1

Étape 4: Condition y'(0) = 2
-C₁sin(0) + C₂cos(0) = 2
C₂ = 2

Réponse finale: y = cos(x) + 2sin(x)

Exercice 7

Avec Second Membre - Trigonométrique

Résoudre l'équation différentielle:

y'' + 4y = 8cos(2x)

✅ Solution détaillée

Étape 1: Solution homogène
r² + 4 = 0 ⟹ r = ±2i
yₕ = C₁cos(2x) + C₂sin(2x)

Étape 2: Solution particulière
f(x) = 8cos(2x)
ω = 2 est la fréquence de yₕ ⟹ résonance
yₚ = x[Acos(2x) + Bsin(2x)]

Étape 3: Calcul des dérivées
yₚ' = Acos(2x) + Bsin(2x) + x[-2Asin(2x) + 2Bcos(2x)]
yₚ'' = -4Asin(2x) + 4Bcos(2x) + x[-4Acos(2x) - 4Bsin(2x)]

Étape 4: Substitution et identification
Après calculs: -4Asin(2x) + 4Bcos(2x) = 8cos(2x)
A = 0, B = 2
yₚ = 2x·sin(2x)

Réponse finale: y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x) + 2x·sin(2x)

Exercice 8

Équation d'Euler

Résoudre l'équation différentielle:

x²y'' - 3xy' + 4y = 0, (x > 0)

✅ Solution détaillée

Étape 1: C'est une équation d'Euler
Poser x = e^t ou t = ln(x)

Étape 2: Transformations
y' = (1/x)dy/dt
y'' = (1/x²)(d²y/dt² - dy/dt)

Étape 3: Substitution
x²·(1/x²)(d²y/dt² - dy/dt) - 3x·(1/x)dy/dt + 4y = 0
d²y/dt² - dy/dt - 3dy/dt + 4y = 0
d²y/dt² - 4dy/dt + 4y = 0

Étape 4: Résolution
r² - 4r + 4 = 0 ⟹ (r-2)² = 0
r = 2 (racine double)
y(t) = (C₁ + C₂t)e^(2t)

Étape 5: Retour à x
t = ln(x), e^t = x
Réponse finale: y = (C₁ + C₂ln(x))x²

QCM 1: Équation caractéristique

L'équation caractéristique de y'' + 3y' - 4y = 0 est:

A) r² + 3r + 4 = 0

B) r² + 3r - 4 = 0

C) r² - 3r - 4 = 0

D) r² - 3r + 4 = 0

QCM 2: Type de solution

Si Δ = 0 pour l'équation caractéristique, la solution générale est:

A) y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)

B) y = (C₁ + C₂x)e^(rx)

C) y = e^(αx)[C₁cos(βx) + C₂sin(βx)]

D) y = C₁x + C₂

QCM 3: Racines complexes

Pour y'' + 6y' + 13y = 0, les racines sont:

A) -3 ± 4i

B) -3 ± 2i

C) 3 ± 2i

D) -2 ± 3i

QCM 4: Solution particulière

Pour y'' + 2y' + y = 3x², on cherche yₚ de la forme:

A) ax²

B) ax² + bx + c

C) ax³ + bx² + cx

D) ax + b

QCM 5: Discriminant

Pour y'' - 2y' + 1y = 0, le discriminant vaut:

A) Δ = 0

B) Δ > 0

C) Δ < 0

D) Δ = 4

QCM 6: Ordre de l'équation

L'ordre de l'équation y'' + 3y' - 2y = x est:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 0

QCM 7: Solution avec e^x

Pour y'' - y = e^x, la solution particulière contient:

A) Ae^x

B) Axe^x

C) Ax²e^x

D) Ae^(2x)

QCM 8: Équation d'Euler

Une équation de type x²y'' + axy' + by = 0 s'appelle:

A) Équation de Bernoulli

B) Équation d'Euler

C) Équation de Clairaut

D) Équation de Ricatti

🧪 Testez vos connaissances

Répondez aux questions suivantes pour évaluer votre compréhension

Question 1: Donnez l'équation caractéristique de y'' + 5y' + 6y = 0

Question 2: Quelle est la solution de y'' - 4y = 0 ?

Question 3: Si Δ < 0, les racines sont de quel type?

Question 4: Pour y'' + y = x, quelle forme essayer pour yₚ?

Question 5: Combien de constantes arbitraires dans la solution générale d'une EDO d'ordre 2?

Question 6: Pour x²y'' + 3xy' + y = 0, quel changement utiliser?

🏆 Quiz Final

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📐 Équations Différentielles d'Ordre 2

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