📐 Espaces Vectoriels

Méthode: Critère du s.e.v en une seule condition

Étape 1: Vérifier que F ≠ ∅
Le vecteur nul (0, 0, 0) vérifie : 0 + 0 - 0 = 0 ✓
Donc 0 ∈ F et F ≠ ∅

Étape 2: Stabilité par combinaison linéaire
Soient u = (x₁, y₁, z₁) ∈ F et v = (x₂, y₂, z₂) ∈ F
Donc : x₁ + y₁ - z₁ = 0 et x₂ + y₂ - z₂ = 0

Soient λ, μ ∈ ℝ. Calculons λu + μv :
λu + μv = (λx₁ + μx₂, λy₁ + μy₂, λz₁ + μz₂)

Étape 3: Vérifier que λu + μv ∈ F
(λx₁ + μx₂) + (λy₁ + μy₂) - (λz₁ + μz₂)
= λ(x₁ + y₁ - z₁) + μ(x₂ + y₂ - z₂)
= λ·0 + μ·0 = 0 ✓

Conclusion: F est un sous-espace vectoriel de ℝ³

Remarque: F est un plan vectoriel passant par l'origine, de dimension 2.

Méthode: Résoudre λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ = 0

Étape 1: Écrire l'équation vectorielle
λ₁(1, 2, 1) + λ₂(2, 1, 0) + λ₃(1, -3, -2) = (0, 0, 0)

Étape 2: Système d'équations
λ₁ + 2λ₂ + λ₃ = 0 ... (1)
2λ₁ + λ₂ - 3λ₃ = 0 ... (2)
λ₁ + 0λ₂ - 2λ₃ = 0 ... (3)

Étape 3: Résolution par substitution
De (3): λ₁ = 2λ₃

Dans (1): 2λ₃ + 2λ₂ + λ₃ = 0
⟹ 2λ₂ + 3λ₃ = 0
⟹ λ₂ = -3λ₃/2

Vérification dans (2):
2(2λ₃) + (-3λ₃/2) - 3λ₃ = 4λ₃ - 3λ₃/2 - 3λ₃
= (8λ₃ - 3λ₃ - 6λ₃)/2 = -λ₃/2 ≠ 0 si λ₃ ≠ 0

Étape 4: Contradiction !
Le système n'admet que la solution triviale λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0

Conclusion: La famille est LIBRE

Remarque: Comme elle est libre et contient 3 vecteurs dans ℝ³ (dim = 3), c'est une base de ℝ³.

1) F est un s.e.v:

• 0 = (0,0,0,0) vérifie 0+0=0 et 0-0=0, donc 0 ∈ F ✓

• Soient u = (x₁,y₁,z₁,t₁) ∈ F et v = (x₂,y₂,z₂,t₂) ∈ F
Donc: x₁+y₁=0, z₁-t₁=0, x₂+y₂=0, z₂-t₂=0

Pour λu + μv = (λx₁+μx₂, λy₁+μy₂, λz₁+μz₂, λt₁+μt₂):
(λx₁+μx₂) + (λy₁+μy₂) = λ(x₁+y₁) + μ(x₂+y₂) = 0 ✓
(λz₁+μz₂) - (λt₁+μt₂) = λ(z₁-t₁) + μ(z₂-t₂) = 0 ✓

Donc F est un s.e.v ✓

2) Base de F:

Étape 1: Paramétrer F
De x + y = 0 ⟹ y = -x
De z - t = 0 ⟹ t = z

Tout vecteur de F s'écrit:
(x, y, z, t) = (x, -x, z, z) = x(1, -1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1)

Étape 2: Famille génératrice
F est engendré par {v₁ = (1, -1, 0, 0), v₂ = (0, 0, 1, 1)}

Étape 3: Vérifier qu'elle est libre
λ₁(1, -1, 0, 0) + λ₂(0, 0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0)
⟹ (λ₁, -λ₁, λ₂, λ₂) = (0, 0, 0, 0)
⟹ λ₁ = 0 et λ₂ = 0

La famille est libre ✓

Conclusion: Base de F: {(1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}

3) Dimension: dim F = 2

Méthode: Résoudre le système des deux équations

Étape 1: Conditions pour appartenir à F ∩ G
Un vecteur (x, y, z) ∈ F ∩ G doit vérifier:
x + y + z = 0 ... (1) [condition de F]
x - y = 0 ... (2) [condition de G]

Étape 2: Résolution du système
De (2): x = y

Dans (1): x + x + z = 0
⟹ 2x + z = 0
⟹ z = -2x

Étape 3: Forme paramétrique
Tout vecteur de F ∩ G s'écrit:
(x, y, z) = (x, x, -2x) = x(1, 1, -2)

Conclusion:
F ∩ G = Vect{(1, 1, -2)}

dim(F ∩ G) = 1

Interprétation géométrique:
F est un plan, G est un plan, leur intersection est une droite vectorielle.

Méthode 1: Vérifier dim(F + G) = dim F + dim G

Étape 1: Calculer les dimensions
• dim F = 2 (engendré par 2 vecteurs à vérifier libres)
Vérifions: λ(1,0,1) + μ(0,1,1) = (0,0,0)
⟹ (λ, μ, λ+μ) = (0,0,0) ⟹ λ=0, μ=0 ✓
Donc dim F = 2

• dim G = 1 (engendré par un vecteur non nul)

Étape 2: Vérifier que {v₁, v₂, v₃} est libre
où v₁=(1,0,1), v₂=(0,1,1), v₃=(1,1,0)

λ₁(1,0,1) + λ₂(0,1,1) + λ₃(1,1,0) = (0,0,0)
⟹ (λ₁+λ₃, λ₂+λ₃, λ₁+λ₂) = (0,0,0)

Système:
λ₁ + λ₃ = 0 ... (1)
λ₂ + λ₃ = 0 ... (2)
λ₁ + λ₂ = 0 ... (3)

De (1): λ₃ = -λ₁
De (2): λ₂ = -λ₃ = λ₁
Dans (3): λ₁ + λ₁ = 0 ⟹ λ₁ = 0
Donc λ₁ = λ₂ = λ₃ = 0 ✓

La famille {v₁, v₂, v₃} est libre, donc génératrice de ℝ³
⟹ F + G = ℝ³

Étape 3: Dimension de F + G
dim(F + G) = dim ℝ³ = 3
dim F + dim G = 2 + 1 = 3

Conclusion par Grassmann:
dim(F + G) = dim F + dim G - dim(F ∩ G)
3 = 3 - dim(F ∩ G)
⟹ dim(F ∩ G) = 0
⟹ F ∩ G = {0}

Donc ℝ³ = F ⊕ G

Interprétation: F est un plan, G est une droite non contenue dans F, et ils sont supplémentaires dans ℝ³.

Objectif: Trouver λ₁, λ₂, λ₃ tels que u = λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃

Étape 1: Écrire l'équation vectorielle
(3, 2, 3) = λ₁(1, 1, 0) + λ₂(1, 0, 1) + λ₃(0, 1, 1)

Étape 2: Système d'équations
λ₁ + λ₂ = 3 ... (1)
λ₁ + λ₃ = 2 ... (2)
λ₂ + λ₃ = 3 ... (3)

Étape 3: Résolution
De (1): λ₂ = 3 - λ₁
De (2): λ₃ = 2 - λ₁

Dans (3): (3 - λ₁) + (2 - λ₁) = 3
5 - 2λ₁ = 3
2λ₁ = 2
λ₁ = 1

Donc:
λ₂ = 3 - 1 = 2
λ₃ = 2 - 1 = 1

Étape 4: Vérification
1·(1,1,0) + 2·(1,0,1) + 1·(0,1,1)
= (1,1,0) + (2,0,2) + (0,1,1)
= (3,2,3) ✓

Conclusion: Les coordonnées de u dans B sont (1, 2, 1)

Notation: [u]ᵦ = (1, 2, 1)ᵀ

1) F est un s.e.v:

• Le polynôme nul vérifie 0(1) = 0, donc 0 ∈ F ✓

• Soient P, Q ∈ F et λ, μ ∈ ℝ
Donc P(1) = 0 et Q(1) = 0

(λP + μQ)(1) = λP(1) + μQ(1) = λ·0 + μ·0 = 0
Donc λP + μQ ∈ F ✓

F est un s.e.v de E ✓

2) Base de F:

Étape 1: Caractériser F
Soit P(X) = aX² + bX + c ∈ E
P ∈ F ⟺ P(1) = 0
⟺ a + b + c = 0
⟺ c = -a - b

Étape 2: Forme paramétrique
P(X) = aX² + bX + (-a-b)
= aX² + bX - a - b
= a(X² - 1) + b(X - 1)

Étape 3: Famille génératrice
F = Vect{P₁(X) = X² - 1, P₂(X) = X - 1}

Étape 4: Vérifier qu'elle est libre
λ₁(X² - 1) + λ₂(X - 1) = 0
⟹ λ₁X² + λ₂X + (-λ₁ - λ₂) = 0

Par identification des coefficients:
λ₁ = 0 (coefficient de X²)
λ₂ = 0 (coefficient de X)

La famille est libre ✓

Conclusion:
Base de F: {X² - 1, X - 1}

3) Dimension: dim F = 2

Remarque: dim E = 3 et dim F = 2, ce qui est cohérent car on a une contrainte linéaire.

1) Dimensions de F et G:

Pour F:
x + y = 0 ⟹ y = -x
(x, y, z, t) = (x, -x, z, t) = x(1,-1,0,0) + z(0,0,1,0) + t(0,0,0,1)
F = Vect{(1,-1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}
Ces 3 vecteurs sont clairement libres
dim F = 3

Pour G:
z + t = 0 ⟹ t = -z
(x, y, z, t) = (x, y, z, -z) = x(1,0,0,0) + y(0,1,0,0) + z(0,0,1,-1)
G = Vect{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,-1)}
Ces 3 vecteurs sont clairement libres
dim G = 3

2) Dimension de F ∩ G:

(x, y, z, t) ∈ F ∩ G ⟺ x + y = 0 ET z + t = 0
⟺ y = -x ET t = -z

(x, y, z, t) = (x, -x, z, -z) = x(1,-1,0,0) + z(0,0,1,-1)
F ∩ G = Vect{(1,-1,0,0), (0,0,1,-1)}
Ces 2 vecteurs sont libres
dim(F ∩ G) = 2

3) Dimension de F + G:

Formule de Grassmann:
dim(F + G) = dim F + dim G - dim(F ∩ G)
dim(F + G) = 3 + 3 - 2 = 4
dim(F + G) = 4

Donc F + G = ℝ⁴ (car dim(F + G) = dim ℝ⁴)

4) F et G supplémentaires?

Pour que F ⊕ G, il faut:
• F + G = ℝ⁴ ✓ (vérifié)
• F ∩ G = {0} ✗ (car dim(F ∩ G) = 2 ≠ 0)

F et G ne sont PAS supplémentaires

Conclusion: On a ℝ⁴ = F + G mais pas F ⊕ G car l'intersection n'est pas réduite à {0}.