On étudie maintenant les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants, qui jouent un rôle central en physique, ingénierie et modélisation.

Une telle équation, sur un intervalle ouvert \( I \subset \mathbb{R} \), est de la forme :

\( a y''(x) + b y'(x) + c y(x) = g(x) \).

où :

• \( a, b, c \in \mathbb{R} \) sont des constantes avec \( a \neq 0 \) ;
• \( g : I \to \mathbb{R} \) est une fonction continue.

On appelle équation homogène associée l’équation obtenue en remplaçant le second membre par zéro :

\( a y''(x) + b y'(x) + c y(x) = 0 \).

Le résultat fondamental concernant l’équation homogène associée est le suivant :

\( a y'' + b y' + c y = 0 \)

Théorème. L’ensemble des solutions de cette équation homogène forme un espace vectoriel de dimension 2.

Cela signifie que :

• si \( y_1 \) et \( y_2 \) sont deux solutions, alors toute combinaison linéaire \( k_1 y_1 + k_2 y_2 \), avec \( k_1, k_2 \in \mathbb{R} \), est encore une solution ;
• toute solution peut s’écrire comme combinaison linéaire de deux solutions indépendantes (une base de cet espace).

La démonstration complète repose sur le principe de linéarité et un théorème d’existence/unicité plus général (Cauchy–Lipschitz). On l’admet ici.

En pratique, cela signifie que la solution générale de l’équation homogène s’écrit :

\( y(x) = k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x) \),

où \( y_1, y_2 \) forment une base de l’espace des solutions et \( k_1, k_2 \in \mathbb{R} \) sont deux constantes arbitraires.

Remarques.

• Le fait que la dimension soit exactement 2 s’explique par l’ordre de l’équation (deuxième ordre). En général, pour une équation linéaire homogène d’ordre \( n \), l’espace des solutions a dimension \( n \).
• Pour trouver une base explicite \( \{y_1, y_2\} \), on utilise le polynôme caractéristique : \( P(\lambda) = a \lambda^2 + b \lambda + c = 0 \).
• Les racines de ce polynôme déterminent la forme des solutions : exponentielles, sinus/cosinus, ou polynômes selon les cas (racines réelles distinctes, doubles, complexes).