Avant d’étudier des méthodes de résolution, il est essentiel de bien comprendre ce que signifie « linéaire », « homogène » et « à coefficients constants ».

On considère un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \). On se donne des fonctions \( a_0, a_1, \dots, a_n, g : I \to \mathbb{R} \) continues.

Une équation différentielle linéaire d’ordre \( n \) est une équation de la forme :

\( a_0(x)\,y(x) + a_1(x)\,y'(x) + \dots + a_n(x)\,y^{(n)}(x) = g(x). \)

Le mot « linéaire » signifie ici que la fonction inconnue \( y \) et ses dérivées \( y', y'', \dots, y^{(n)} \) apparaissent sans exposant, c’est‑à‑dire de façon linéaire :

• on ne voit pas de termes comme \( (y')^2 \) ou \( y\,y' \) ;
• on ne voit pas non plus de fonctions non linéaires de \( y \) comme \( \sin(y) \), \( e^{y} \), etc.

En résumé, l’équation est linéaire en \( y \) si elle est composée de sommes de multiples de \( y, y', \dots, y^{(n)} \), avec des coefficients dépendant uniquement de la variable \( x \).

Équation homogène et équation avec second membre.

On distingue deux cas importants :

• L’équation linéaire homogène associée est obtenue en remplaçant le second membre par la fonction nulle :

  \( a_0(x)\,y + a_1(x)\,y' + \dots + a_n(x)\,y^{(n)} = 0. \)

  On parle alors d’« équation sans second membre ».
• Lorsque le second membre \( g(x) \) n’est pas identiquement nul, on parle d’équation linéaire avec second membre :

  \( a_0(x)\,y + a_1(x)\,y' + \dots + a_n(x)\,y^{(n)} = g(x). \)

Équation linéaire à coefficients constants.

Une équation différentielle linéaire est dite à coefficients constants lorsque les fonctions \( a_0, a_1, \dots, a_n \) sont des constantes réelles (elles ne dépendent plus de \( x \)) :

\( a_0\,y + a_1\,y' + \dots + a_n\,y^{(n)} = g(x), \)

où \( a_0, \dots, a_n \in \mathbb{R} \) et \( g \) est une fonction continue de \( x \). Ces équations jouent un rôle fondamental car leur résolution repose sur l’étude d’un polynôme (le polynôme caractéristique).

Exemples d’équations linéaires ou non linéaires.

• L’équation \( y' + 5x\,y = e^x \) est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre : \( a_0(x) = 5x \), \( a_1(x) = 1 \), \( g(x) = e^x \).

• L’équation \( y' + 5x\,y = 0 \) est l’équation homogène associée : même partie gauche, mais second membre nul.

• L’équation \( 2y'' - 3y' + 5y = 0 \) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et sans second membre : \( a_2 = 2 \), \( a_1 = -3 \), \( a_0 = 5 \), \( g(x) = 0 \).

• En revanche, des équations comme \( (y')^2 - y = x \) ou \( y'' \cdot y' - y = 0 \) ne sont pas linéaires, car on y voit des produits ou des puissances de \( y' \) et \( y'' \).

Considérons l’équation différentielle linéaire homogène

\( a_0(x)\,y + a_1(x)\,y' + \dots + a_n(x)\,y^{(n)} = 0. \)

Supposons que \( y_1 \) et \( y_2 \) soient deux solutions de cette équation sur un même intervalle \( I \). Alors, pour tous réels \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \), la combinaison linéaire \( \lambda y_1 + \mu y_2 \) est encore une solution sur \( I \).

Ce résultat s’appelle le principe de linéarité. Il se vérifie simplement en remplaçant \( y \), \( y' \), …, \( y^{(n)} \) par \( \lambda y_1 + \mu y_2 \) et en utilisant la linéarité de la dérivation.

On peut reformuler ce principe en disant que l’ensemble des solutions de l’équation homogène forme un espace vectoriel (sur \( \mathbb{R} \)). C’est cette structure qui permet de décrire toutes les solutions à partir d’une « base de solutions ».

Pour résoudre une équation différentielle linéaire avec second membre

\( a_0(x)\,y + a_1(x)\,y' + \dots + a_n(x)\,y^{(n)} = g(x), \)

on procède généralement en deux étapes :

• on cherche d’abord une solution particulière \( y_0 \) de cette équation (avec le second membre \( g(x) \)) ;
• on détermine ensuite l’ensemble \( S_h \) des solutions de l’équation homogène associée :

  \( a_0(x)\,y + a_1(x)\,y' + \dots + a_n(x)\,y^{(n)} = 0. \)

Le résultat fondamental est le principe de superposition. Il affirme que l’ensemble \( S \) des solutions de l’équation complète avec second membre est exactement l’ensemble des fonctions de la forme

\( y = y_0 + y_h, \quad \text{où } y_h \in S_h. \)

Autrement dit, toute solution de l’équation avec second membre s’écrit comme la somme :

• d’une solution particulière fixée \( y_0 \) ;
• et d’une solution quelconque de l’équation homogène associée.

Ce principe découle directement du caractère linéaire de l’équation. Il explique pourquoi l’étude de l’équation homogène joue un rôle central, même lorsqu’on s’intéresse à une équation avec second membre.