Soit \(K\) un corps commutatif (en pratique, on prend souvent \(K=\mathbb{R}\) ou \(K=\mathbb{C}\)). On considère un ensemble non vide \(E\), muni de deux opérations :

Une loi de composition interne (addition) : \(+ : E \times E \to E\), qui à \((x,y)\) associe \(x+y\).

Une loi de composition externe (multiplication scalaire) : \(\cdot : K \times E \to E\), qui à \((\lambda,x)\) associe \(\lambda\cdot x\).

Les éléments de \(E\) sont appelés vecteurs et les éléments de \(K\) sont appelés scalaires.

On dit que \((E,+,\cdot)\) est un espace vectoriel sur \(K\) si les propriétés suivantes sont vérifiées.

Structure additive.

L’ensemble \((E,+)\) est un groupe commutatif, ce qui signifie :

• Associativité : pour tous \(x,y,z\in E\), \((x+y)+z = x+(y+z)\).
• Commutativité : pour tous \(x,y\in E\), \(x+y=y+x\).
• Existence d’un neutre : il existe un élément \(0_E \in E\) tel que, pour tout \(x\in E\), \(0_E + x = x\).
• Existence d’un opposé : pour tout \(x\in E\), il existe un élément noté \(-x \in E\) tel que \(x+(-x)=0_E\).

Compatibilité avec les scalaires.

Pour tous \(\lambda,\nu \in K\) et tous \(x,y \in E\), on a :

• Distributivité par rapport à l’addition dans \(E\) : \(\lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x + \lambda\cdot y\).
• Distributivité par rapport à l’addition dans \(K\) : \((\lambda+\nu)\cdot x = \lambda\cdot x + \nu\cdot x\).
• Compatibilité des produits : \((\lambda\nu)\cdot x = \lambda\cdot(\nu\cdot x)\).
• Élément unité : \(1_K\cdot x = x\), où \(1_K\) est le neutre multiplicatif de \(K\).

Les exemples suivants sont essentiels, car ils servent de modèle à presque toute l’algèbre linéaire.

Exemple. \((\mathbb{R}, +, \cdot)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\). Ici, les “vecteurs” sont simplement des nombres réels.

Exemple. \((\mathbb{C}, +, \cdot)\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb{C}\).

Exemple. Pour \(K=\mathbb{R}\), l’ensemble \(E=\mathbb{R}^2\) devient un espace vectoriel avec les opérations usuelles :

• Addition : pour \((x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\mathbb{R}^2\), \((x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,\,x_2+y_2)\).
• Multiplication scalaire : pour \(\lambda\in\mathbb{R}\) et \((x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\), \(\lambda(x_1,x_2)=(\lambda x_1,\,\lambda x_2)\).

Le vecteur nul est \(0_{\mathbb{R}^2}=(0,0)\) et l’opposé de \((x_1,x_2)\) est \((-x_1,-x_2)\).

Exemple. Plus généralement, \(\mathbb{R}^n\) (ou \(K^n\)) avec les opérations composante par composante est un espace vectoriel sur \(K\). Le vecteur nul est \(0_{K^n}=(0,\dots,0)\) et l’opposé de \((x_1,\dots,x_n)\) est \((-x_1,\dots,-x_n)\).

Dans tout \(K\)-espace vectoriel \(E\), on peut démontrer des propriétés standard, très utilisées en pratique.

• Pour tout \(x\in E\), \(0\cdot x = 0_E\).
• Pour tout \(\lambda \in K\), \(\lambda\cdot 0_E = 0_E\).
• Pour tout \(\lambda\in K\) et tout \(x\in E\), si \(\lambda\cdot x = 0_E\) alors \(\lambda=0\) ou \(x=0_E\).
• Pour tous \(x,y\in E\), \(\lambda\cdot(x-y)=\lambda x - \lambda y\).
• Pour tout \(x\in E\), \((-1_K)\cdot x = -x\).