Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel. Une partie \(F \subset E\) est appelée sous-espace vectoriel (s.e.v) de \(E\) si elle est compatible avec les deux opérations (addition et multiplication par un scalaire).

Définition. \(F\) est un sous-espace vectoriel si :

• \(F\) est non vide (en particulier, cela implique \(0_E \in F\)).
• Pour tous \(x,y \in F\), on a \(x+y \in F\) (stabilité par addition).
• Pour tout \(x \in F\) et tout \(\lambda \in K\), on a \(\lambda x \in F\) (stabilité par multiplication scalaire).

Ces trois conditions sont exactement ce qu’on appelle souvent le test de sous-espace : « non vide + stable par addition + stable par multiplication scalaire ».

Remarques.

• La condition “\(0_E \in F\)” est fondamentale : si le vecteur nul n’est pas dans \(F\), alors \(F\) ne peut pas être un sous-espace.
• Pour montrer que \(F\) n’est pas un sous-espace, il suffit de trouver un contre-exemple : soit \(0_E \notin F\), soit deux vecteurs de \(F\) dont la somme n’est pas dans \(F\), soit un vecteur de \(F\) et un scalaire \(\lambda\) tels que \(\lambda x \notin F\).
• La stabilité par combinaisons linéaires est une manière très efficace de tester un sous-espace : “si \(x,y\in F\) alors \(\lambda x+\nu y\in F\) pour tous \(\lambda,\nu\in K\)”.

Soit \(F\) une partie non vide de \(E\). Les affirmations suivantes sont équivalentes :

• \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
• \(F\) est stable par addition et stable par multiplication scalaire : pour tous \(x,y\in F\) et tout \(\lambda\in K\), \(x+y\in F\) et \(\lambda x\in F\).
• \(F\) est stable par combinaisons linéaires à deux vecteurs : pour tous \(x,y\in F\) et tous \(\lambda,\nu\in K\), \(\lambda x+\nu y\in F\).

Une formulation très compacte (souvent utilisée en pratique) est :

\( F \text{ est un s.e.v } \Longleftrightarrow \bigl(F\neq\varnothing \ \text{et}\ \forall x,y\in F,\ \forall\lambda,\nu\in K,\ \lambda x+\nu y\in F\bigr). \)

Exemple 1. \(F_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=0\}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^2\).

On vérifie directement le critère “combinaison linéaire”. Soient \((x_1,y_1)\in F_1\) et \((x_2,y_2)\in F_1\). Cela signifie : \(x_1+y_1=0\) et \(x_2+y_2=0\). Pour \(\lambda,\nu\in\mathbb{R}\), considérons : \[ \lambda(x_1,y_1)+\nu(x_2,y_2)=(\lambda x_1+\nu x_2,\ \lambda y_1+\nu y_2). \] On calcule alors : \[ (\lambda x_1+\nu x_2)+(\lambda y_1+\nu y_2) =\lambda(x_1+y_1)+\nu(x_2+y_2)=\lambda\cdot0+\nu\cdot0=0. \] Donc \(\lambda(x_1,y_1)+\nu(x_2,y_2)\in F_1\), ce qui prouve que \(F_1\) est un s.e.v.

Exemple 2. \(F_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=2\}\) n’est pas un sous-espace.

En effet, \((0,0)\notin F_2\) car \(0+0\neq 2\). Or tout sous-espace doit contenir le vecteur nul, donc \(F_2\) ne peut pas être un sous-espace.

Intersection.

L’intersection d’une famille non vide de sous-espaces vectoriels est encore un sous-espace vectoriel. Intuitivement, l’intersection conserve la stabilité par addition et par multiplication scalaire.

Réunion.

La réunion de deux sous-espaces n’est pas forcément un sous-espace : elle peut ne pas être stable par addition.

Exemple classique.

Dans \(\mathbb{R}^2\), posons \(F_1=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}\) (l’axe des ordonnées) et \(F_2=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}\) (l’axe des abscisses). Alors \(F_1\) et \(F_2\) sont des sous-espaces, mais \(F_1\cup F_2\) n’en est pas un, car \((1,0)\in F_2\) et \((0,1)\in F_1\), tandis que \((1,0)+(0,1)=(1,1)\notin F_1\cup F_2\).