Introduction

Dans le présent chapitre nous nous intéressons aux lois fondamentales de l'électricité par le biais de l'étude des éléments de base : résistance R, inductance L et condensateur C. Ces éléments nous aiderons à tracer les lois et les équations mathématiques nécessaires pour la description et l'étude des principaux phénomènes liés à l'électricité.

 

1. Signal sinusoïdal

En première approximation, on peut considérer que les différents signaux présents sur un réseau électrique (tension, courant) sont des sinusoïdes pures à la fréquence imposée par les alternateurs (50Hz).

 

1.1 Représentation vectorielle

Considérons un signal sinusoïdal s(t) de valeur maximale A et de fréquence f et de phase φ :

(2.1)

 

Ce signal s(t) est caractérisé par ces trois variables : A, f, φ. On peut associer à s(t) un vecteur caractérisé à son tour par les mêmes variables.

 

 

Ce vecteur est de module A et tourne dans le sens trigonométrique à la fréquence f. A l'instant t=0, l'angle entre le vecteur et l'axe de référence vaut φ (phase initiale).

Si on considère deux signaux sinusoïdaux s₁(t) et s₂(t) à des fréquences différentes f₁ et f₂. Les deux vecteurs associés tourneront à des vitesses différentes. Leur déphasage sera donc variable au cours du temps.

Par contre, si tous les signaux considérés sont à une fréquence fixe f, tous les vecteurs associés aux signaux tourneront à la même vitesse et ils sont fixes les uns par rapport aux autres.

 

On peut lire sur un tel schéma l'amplitude des signaux (module des vecteurs) ainsi que leurs phases.

La somme (ou la différence) des signaux sinusoïdaux est équivalent à la somme (ou la différence) des vecteurs qui leurs sont associés.

Cette représentation est utile pour faire des calculs sur les circuits R . L . C et pour tracer des diagrammes vectoriels d'un élément du réseau d'énergie (alternateur, transformateur, moteur).

 

1.2 Représentation complexe

A chaque vecteur représentant un signal s(t) peut encore être associé un nombre complexe s dont la partie réelle est la projection du vecteur de s(t) sur l'axe de référence et la partie imaginaire est sa projection sur un axe en quadrature à n'importe quel instant.

 

Le signal s(t) peut s'exprimer comme la partie réelle du nombre complexe associé s :

(2.2)

 

En connaissant la fréquence du signal, on peut associer au signal s(t) un nombre complexe s plus simple puisqu'il ne fait intervenir que l'amplitude et la phase de s(t)  :

(2.3)

 

=>

(2.4)

 

En utilisant la représentation complexe, on peut montrer que des sommes (ou des différences) trigonométriques se ramènent à des sommes (ou des différences) complexes ce qui est plus facile et plus simple (Voir chapitre 1).

 

2. Étude des circuits électriques de base

2.1 Impédance complexe d'un circuit

Soit le circuit électrique à courant alternatif sinusoïdal suivant :

La charge Z appelée impédance et est composée généralement d'un groupement de résistances R, d'inductances L et/ou de condensateurs C. Ceci affecte directement l'angle de déphasage entre le courant et la tension.

On exprime la tension par le vecteur (ou nombre complexe) :

(2.5)

et le courant par le vecteur (ou nombre complexe) :

(2.6)

 

où : E et I sont respectivement les amplitudes ou valeurs efficaces de la tension et du courant.

 

L'impédance complexe (rapport entre E et I) du circuit appelée Z est donnée par la loi d'Ohm généralisée (cas du régime alternatif) comme suit:

(2.7)

 

(2.8)

 

Donc, l'impédance complexe Z est exprimée sous la forme rectangulaire par :

(2.9)

 

2.2 Impédance complexe d'une résistance R

L'angle φ de déphasage entre la tension et le courant est nul dans le cas de la résistance (φ₁ = 0° et φ₂ = 0°, d'où : φ = 0°). Donc :

	(2.10)
	(2.11)
	(2.12)

 

 Le rapport E/I est égal à la résistance, soit :

(2.13)

 

2.3 Impédance complexe d'une réactance inductive X_L

Pour une inductance L, le courant est en retard de 90° par rapport à la tension : φ₁ = 0° et φ₂ = -90°. Alors : φ = φ₁ - φ₂ = 0 - (-90°). D'où : φ = +90°

 

	(2.14)
	(2.15)
	(2.16)

 

Le rapport E/I est appelé réactance inductive X_L.

(2.17)

 

2.4 Impédance complexe d'une réactance capacitive X_C

Pour une capacité C, la tension est en retard de 90° par rapport au courant : φ₁ = 0° et φ₂ = +90°. Alors:  φ = φ₁ - φ₂ = 0 - (+90°). D'où : φ = -90°

 

(2.18)

 

 

	(2.19)
	(2.20)

 

Le rapport E/I est appelé réactance capacitive X_C.

(2.21)