On reprend un modèle classique : un parachutiste chute verticalement et subit la gravité ainsi qu’une force de frottement supposée proportionnelle à sa vitesse. On note \(v(t)\) la vitesse verticale (orientée vers le bas), \(g>0\) l’accélération de la pesanteur et \(f>0\) un coefficient de frottement constant.

Le modèle conduit à l’équation différentielle linéaire du premier ordre :

\( \dfrac{dv(t)}{dt} = g - f\,v(t). \)

C’est une équation de la forme \(v' = a v + b\) avec \(a=-f\) (constant) et \(b=g\), donc on peut la résoudre avec les méthodes vues plus haut (équation homogène + solution particulière, ou variation de la constante).

Équation homogène.

L’équation homogène associée est : \( v'(t) = -f\,v(t) \). D’après le cas fondamental \(y' = ay\), ses solutions sont :

\( v_h(t) = k\,e^{-ft}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Recherche d’une solution particulière (variation de la constante).

On cherche une solution particulière sous la forme \( v_p(t) = k(t)\,e^{-ft} \). On dérive :

\( v_p'(t) = k'(t)\,e^{-ft} - f\,k(t)\,e^{-ft}. \)

Or \( g - f v_p(t) = g - f\,k(t)e^{-ft} \). Pour que \(v_p\) vérifie \( v' = g - f v \), il faut et il suffit que

\( k'(t)\,e^{-ft} = g. \)

Donc \( k'(t) = g\,e^{ft} \) et on peut prendre, par exemple, \( k(t) = \dfrac{g}{f}e^{ft} \). On obtient alors :

\( v_p(t) = k(t)e^{-ft} = \dfrac{g}{f}. \)

Solution générale.

En ajoutant solution particulière et solutions homogènes, on obtient la solution générale :

\( v(t) = \dfrac{g}{f} + k\,e^{-ft}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Cette expression montre que la vitesse est la somme d’une constante et d’un terme transitoire qui décroît exponentiellement vers zéro lorsque \(t\to+\infty\).

Supposons qu’au moment où le parachute s’ouvre on prenne \(t=0\) et que la vitesse initiale soit nulle : \( v(0)=0 \).

Dans la formule générale \( v(t) = \dfrac{g}{f} + k e^{-ft} \), on impose \( v(0)=0 \) : \( 0 = \dfrac{g}{f} + k \), donc \( k = -\dfrac{g}{f} \).

On obtient ainsi :

\( v(t) = \dfrac{g}{f}\bigl(1 - e^{-ft}\bigr). \)

Vitesse limite. Lorsque \(t\to+\infty\), on a \(e^{-ft}\to 0\), donc :

\( \displaystyle \lim_{t\to+\infty} v(t) = v_\infty = \dfrac{g}{f}. \)

Cette constante \(v_\infty\) est la vitesse limite : dans ce modèle, le parachutiste s’en approche sans jamais la dépasser. Si l’on mesure expérimentalement \(v_\infty\), on peut en déduire le coefficient \(f\) via \( f = \dfrac{g}{v_\infty} \).

Si \(x(t)\) désigne la position verticale (dans le même sens que \(v\)), alors \( x'(t)=v(t) \). Pour \( v(t)=\dfrac{g}{f}(1-e^{-ft}) \), on intègre :

\( x(t) = \int_0^t v(s)\,ds = \dfrac{g}{f}\int_0^t \bigl(1-e^{-fs}\bigr)\,ds. \)

On calcule : \( \int_0^t 1\,ds = t \) et \( \int_0^t e^{-fs}\,ds = \dfrac{1-e^{-ft}}{f}. \) D’où :

\( x(t) = \dfrac{g}{f}\,t - \dfrac{g}{f^2}\bigl(1-e^{-ft}\bigr). \)

En particulier, on vérifie bien \(x(0)=0\). Ce modèle est simplifié (frottement linéaire constant), mais il met clairement en évidence une propriété observée : l’apparition d’une vitesse limite.