Dans un tissu radioactif, on note \(N(t)\) le nombre de noyaux radioactifs présents à l’instant \(t\). L’hypothèse de base est la suivante : la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre de noyaux encore présents.

Il existe donc une constante \(\lambda > 0\) (appelée constante de désintégration) telle que :

\( N'(t) = -\lambda\,N(t). \)

Le signe \(-\) traduit le fait que \(N(t)\) diminue au cours du temps. Si l’on note \(N_0 = N(0)\) le nombre initial de noyaux, alors la solution est :

\( N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}. \)

Cette loi est dite exponentielle : la décroissance est rapide au début, puis elle ralentit progressivement, sans jamais atteindre exactement zéro.

On définit le temps caractéristique \(\tau\) par :

\( \tau = \dfrac{1}{\lambda}. \)

Il sert à quantifier la “rapidité” initiale de la décroissance. Plus \(\tau\) est petit, plus la désintégration est rapide au départ (car \(\lambda\) est grand).

Interprétation géométrique (utile pour lire un graphique). Soit \((C)\) la courbe de \(N\) et \((T)\) la tangente à l’origine (au point \(t=0\)). Comme \(N(0)=N_0\) et \(N'(0)=-\lambda N_0\), une équation de la tangente est :

\( y = N'(0)\,t + N(0) = -\lambda N_0\,t + N_0. \)

Cette droite coupe l’axe du temps (c’est‑à‑dire \(y=0\)) lorsque \(t=\tau\). Ainsi, \(\tau\) est l’abscisse du point où la tangente initiale rencontre l’axe des temps.

La période de demi‑vie, notée \(\tau_{1/2}\), est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux initiaux se soient désintégrés. Elle est définie par :

\( N(\tau_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}. \)

En utilisant \(N(t)=N_0e^{-\lambda t}\), on obtient : \( N_0e^{-\lambda \tau_{1/2}} = \dfrac{N_0}{2} \), donc \( e^{-\lambda \tau_{1/2}} = \dfrac{1}{2} \) et finalement :

\( \tau_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}. \)

Comme \(\tau=\dfrac{1}{\lambda}\), on peut aussi écrire :

\( \tau_{1/2} = \tau\,\ln 2. \)

Une écriture très pratique consiste à exprimer \(N(t)\) directement en fonction de la demi‑vie :

\( N(t) = N_0\,2^{-\,t/\tau_{1/2}}. \)

Cette forme permet de lire facilement l’effet d’un “nombre de demi‑vies”. Par exemple, après \(2\tau_{1/2}\), il reste \(N_0/4\), et après \(3\tau_{1/2}\), il reste \(N_0/8\).

Propriété importante.

La demi‑vie ne dépend pas de \(N_0\). Elle correspond au temps nécessaire pour “diviser par deux” le nombre de noyaux, quel que soit l’instant de départ.

En effet, on a pour tout \(t\) :

\( N(t+\tau_{1/2}) = \dfrac{1}{2}\,N(t). \)

Cela explique pourquoi la demi‑vie est une caractéristique intrinsèque de l’isotope (elle mesure “la rapidité” de la décroissance), et pas une propriété qui dépend de la quantité initiale.