On considère une masse \(m\) attachée à un ressort, se déplaçant sur un plan horizontal. On note \(x(t)\) le déplacement horizontal de la masse par rapport à la position d’équilibre, que l’on choisit comme origine \(x=0\).

Quelles forces s’appliquent sur la masse ?

• le poids \(\vec P\) (vertical vers le bas) ;
• la réaction du support \(\vec R\) (verticale vers le haut) ;
• la force de rappel du ressort \(\vec T\) (horizontale, dirigée vers l’équilibre) ;
• une force de frottement \(\vec F\) (souvent opposée au mouvement), que l’on négligera d’abord.

Le principe fondamental de la mécanique s’écrit : \(\vec P + \vec R + \vec T + \vec F = m\vec a\). Comme \(\vec P\) et \(\vec R\) se compensent (mouvement horizontal), on obtient sur l’axe horizontal : \(\vec T + \vec F = m\vec a\).

La force de rappel du ressort est nulle à l’équilibre \(x=0\). Si l’on étire le ressort (\(x>0\)), la force pointe vers la gauche ; si l’on comprime (\(x<0\)), la force pointe vers la droite : dans tous les cas, elle ramène vers l’équilibre.

On modélise cette force par la loi de Hooke :

\( \vec T(t) = -k\,x(t)\,\vec i \)

où \(k>0\) est la constante du ressort, et \(\vec i\) est le vecteur unitaire horizontal.

Dans un premier temps, on suppose qu’il n’y a pas de frottement : \(\vec F = \vec 0\). Le principe fondamental de la mécanique projeté sur l’axe horizontal donne alors :

\( -k\,x(t) = m\,x''(t). \)

En réorganisant, on obtient l’équation différentielle linéaire homogène du second ordre :

\( x''(t) + \dfrac{k}{m}\,x(t) = 0. \)

On reconnaît une équation à coefficients constants. Son équation caractéristique est : \( r^2 + \dfrac{k}{m} = 0 \), d’où \( r = \pm i\sqrt{\dfrac{k}{m}} \). On est donc dans le cas “racines complexes conjuguées”.

En posant \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\), la solution générale s’écrit :

\( x(t) = \lambda \cos(\omega t) + \mu \sin(\omega t), \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R}. \)

Les constantes \(\lambda\) et \(\mu\) se déterminent à partir des conditions initiales, par exemple la position initiale \(x(0)\) et la vitesse initiale \(x'(0)\). Le mouvement est une oscillation périodique autour de \(x=0\), de pulsation \(\omega = \sqrt{k/m}\) (et de période \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)).