Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel et soit \(n \ge 1\) un entier. On considère \(n\) vecteurs \(v_1,v_2,\dots,v_n \in E\).

Définition. Tout vecteur de la forme

\( u = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n \)

où \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \in K\) est appelé une combinaison linéaire des vecteurs \(v_1,\dots,v_n\). Les scalaires \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire.

Cette définition utilise uniquement les deux opérations de l’espace vectoriel : la multiplication d’un vecteur par un scalaire et l’addition de vecteurs. C’est pour cela que la notion de combinaison linéaire est au cœur de l’algèbre linéaire.

Remarque (cas \(n=1\)).

Si \(n=1\), alors une combinaison linéaire se réduit à \(u=\lambda_1 v_1\). Dans ce cas, on dit que \(u\) est colinéaire à \(v_1\), c’est‑à‑dire que \(u\) est un multiple scalaire de \(v_1\).

Exemple 1 (dans \(\mathbb{R}^3\)).

On affirme que le vecteur \((3,3,1)\) est une combinaison linéaire des vecteurs \((1,1,0)\) et \((1,1,1)\). En effet :

\( (3,3,1) = 2(1,1,0) + (1,1,1). \)

Ici, les coefficients de la combinaison linéaire sont \(2\) et \(1\).

Exemple 2 (colinéarité dans \(\mathbb{R}^2\)).

Dans \(\mathbb{R}^2\), le vecteur \(u=(2,1)\) n’est pas colinéaire au vecteur \(v=(1,1)\). En effet, s’il existait un réel \(\lambda\) tel que \(u=\lambda v\), on aurait \((2,1)=(\lambda,\lambda)\), ce qui imposerait à la fois \(\lambda=2\) et \(\lambda=1\), impossible.