Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel et \(\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\) une famille de vecteurs de \(E\).

Définition (famille génératrice).

On dit que la famille \(\{v_1,\dots,v_n\}\) est génératrice de \(E\) (ou qu’elle engendre \(E\)) si tout vecteur \(v\in E\) peut s’écrire comme combinaison linéaire des \(v_1,\dots,v_n\), c’est‑à‑dire :

\( \forall v\in E,\ \exists \lambda_1,\dots,\lambda_n \in K \text{ tels que } v=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\cdots+\lambda_n v_n. \)

De manière équivalente, la famille est génératrice si et seulement si son sous-espace engendré est tout l’espace : \(\langle v_1,\dots,v_n\rangle = E\).

Dans \(\mathbb{R}^3\), considérons les vecteurs : \(v_1=(1,0,0)\), \(v_2=(0,1,0)\), \(v_3=(0,0,1)\).

Tout vecteur \(v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) s’écrit :

\( (x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1). \)

Ainsi, \(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\) est une famille génératrice de \(\mathbb{R}^3\) (c’est même la famille canonique).

Définition (base).

Une famille \(\{v_1,\dots,v_n\}\) est une base de \(E\) si elle est à la fois :

• libre (linéairement indépendante) ;
• génératrice de \(E\).

Autrement dit, une base est une famille de vecteurs qui engendre tout l’espace, sans redondance.

Théorème. Si \(\{v_1,\dots,v_n\}\) est une base de \(E\), alors tout vecteur \(v\in E\) s’écrit d’une manière unique sous la forme :

\( v=\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \) (avec \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\in K\)).

Les scalaires \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) sont appelés les coordonnées de \(v\) dans la base \(\{v_1,\dots,v_n\}\).