Soit \(E\) un \(K\)-espace vectoriel et soit \(\{v_1,v_2,\dots,v_n\}\) une famille de vecteurs de \(E\).

Définition (famille libre / linéairement indépendante). La famille \(\{v_1,\dots,v_n\}\) est dite libre (ou linéairement indépendante) si la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est la combinaison triviale :

\( \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n = 0_E \;\Longrightarrow\; \lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0. \)

Définition (famille liée / linéairement dépendante). Dans le cas contraire, c’est‑à‑dire s’il existe des scalaires \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\in K\) non tous nuls tels que \(\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0_E\), alors la famille est dite liée (ou linéairement dépendante).

Montrons que les vecteurs \(v_1=(1,0,1)\), \(v_2=(0,2,2)\) et \(v_3=(3,7,1)\) forment une famille libre dans \(\mathbb{R}^3\).

On suppose : \( \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = (0,0,0) \). En coordonnées :

\( \lambda_1(1,0,1) + \lambda_2(0,2,2) + \lambda_3(3,7,1) = (0,0,0). \)

En identifiant composante par composante, on obtient le système :

\( \begin{cases} \lambda_1 + 3\lambda_3 = 0,\\ 2\lambda_2 + 7\lambda_3 = 0,\\ \lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_3 = 0. \end{cases} \)

Des deux premières équations : \(\lambda_1=-3\lambda_3\) et \(\lambda_2=-\dfrac{7}{2}\lambda_3\). En remplaçant dans la troisième :

\( -3\lambda_3 + 2\left(-\dfrac{7}{2}\lambda_3\right) + \lambda_3 = (-3-7+1)\lambda_3 = -9\lambda_3 = 0, \)

donc \(\lambda_3=0\), puis \(\lambda_1=0\) et \(\lambda_2=0\). Ainsi la seule combinaison linéaire nulle est la triviale : la famille est libre.

Considérons dans \(K^2\) (par exemple \(\mathbb{R}^2\)) : \(e_1=(1,2)\), \(e_2=(1,1)\), \(e_3=(0,1)\).

On observe la relation : \( e_1 - e_2 - e_3 = (0,0) \). Les coefficients \((1,-1,-1)\) ne sont pas tous nuls, donc la famille \(\{e_1,e_2,e_3\}\) est liée.

Soit \(\{v_1,\dots,v_n\}\) une famille de vecteurs de \(E\). On appelle sous-espace engendré par ces vecteurs, et on le note \(\langle v_1,\dots,v_n\rangle\) ou \(\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_n)\), l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de \(v_1,\dots,v_n\) :

\( \langle v_1,\dots,v_n\rangle = \left\{ \sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \;\middle|\; \lambda_1,\dots,\lambda_n\in K \right\}. \)

Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de \(E\) et c’est même le plus petit sous-espace de \(E\) contenant tous les \(v_k\).

Soient \(u=(1,1,1)\) et \(v=(1,2,3)\) dans \(\mathbb{R}^3\). Un vecteur \((x,y,z)\) appartient à \(\langle u,v\rangle\) si et seulement s’il existe \(\lambda,\nu\in\mathbb{R}\) tels que :

\( (x,y,z)=\lambda u+\nu v =\lambda(1,1,1)+\nu(1,2,3) =(\lambda+\nu,\ \lambda+2\nu,\ \lambda+3\nu). \)

Cela revient au système : \(x=\lambda+\nu\), \(y=\lambda+2\nu\), \(z=\lambda+3\nu\). En soustrayant, on obtient \(\nu = y-x\) puis \(\lambda = 2x-y\).

La troisième équation impose alors automatiquement la relation : \( z = \lambda + 3\nu = (2x-y) + 3(y-x) = -x + 2y \). Ainsi, \((x,y,z)\in\langle u,v\rangle\) si et seulement si \( z = -x + 2y \).