Un ordre d’intervalle : Un couple de relations binaires (T,V) sur un ensemble B est un ordre d’intervalle si:
– T et V sont exhaustives et mutuellement exclusives;
– T est symétrique;
– V est asymétrique
– Ɐ a,b,,c,d ϵ B , [aVb,bTc et cVd]=> aVd
– Si, de plus, on a :
• Ɐ a,b,,c,d ϵ B , [aVb et bVc]=> Non[aTd et dTc]
(T,V) est un Quasi-ordre
NB : ces deux structures consistent à admettre que la relation symétrique n’est pas parfaitement transitive en raison de phénomène de seuils.
• Un quasi-ordre (T,V) sur un ensemble B peut toujours dans les problèmes réels, être représenté par une fonction g à valeurs réelles définie sur B de telle sorte que :
– Ɐ a,a’ ϵ B :
• a’ T a -q <= g(a’)-g(a) <= q
• a’ V a g(a’)> g(a)+q.
• Un ordre d’intervalle (T,V) sur un ensemble B peut toujours, dans les problèmes réels, être représenté par deux fonctions g et q ou g étant à valeurs réelles, définie sur B et q une fonction de R dans R de telle sorte que:
– Ɐ a,a’ ϵ B :
• a’ T a g(a’)-g(a) <= q(g(a)) et g(a)-g(a’) <= q(g(a’))
• a’ V a g(a’)-g(a)> q(g(a)) .
• Ou la fonction seuil q est telle que: q(g(a)) >= 0, Ɐa ϵ B.
• Un préordre complet est un quasi-ordre à seuil d’indifférence nul.
• Un quasi-ordre est un ordre d’intervalle à seuil constant.
• À partir de (I,P) on peut batir une structure de préférence ayant une structure de quasi-ordre ou d’ordre d’intervalle.
Un préordre partiel : un triplet de relations (T,V,W) sur un ensemble B est un préordre partiel si:
– T, V, W sont exhaustives et mutuellement exclusives;
– W est symétrique et irréflexive;
– T est symétrique et réflexive;
– (TUV) est transitive.
• La structure de préordre partiel généralise la structure de préordre complet pour admettre l’idée d’incomparabilité dans le classement tout en gardant celle de transitivité.
– Un préordre partiel tel que, Ɐ a, b ϵ B : a T b a=b est appelé un ordre partiel.
• Un préordre partiel (T, V, W) sur B peut toujours, dans les problèmes réels, être représenté par une fonction g à valeur réelles définie sur B de telle sorte que :
– a’ T a ==> g(a’)=g(a) et a’ V a ==> g(a’)>g(a)
• La structure de préférence (I,P,R) peut avoir une structure de préordre partiel.
Un pseudo ordre : un triplet de relations (T,V,W) sur un ensemble B est un pseudo ordre si:
• T, V, W sont exhaustives et mutuellement exclusives;
• T est symétrique et réflexive.
• V es asymétrique.
• W est asymétrique.
• (T,VUW) à une structure de quasi-ordre.
• (V,V) à une structure de quasi-ordre (avec a’ V a [Non (a’V a) et Non (a V a’)].
• V.T.W ᴄ V
• W.T.V ᴄ V
• T.W.V ᴄ V
• V.W.T ᴄ V
• Cette structure plus complexe correspond intuitivement à un quasi-ordre (T,V) ou l’on a inséré la relation W (W=Q) entre l’indifférence (T=I) et la préférence stricte (V=P).
• Un pseudo-ordre (T, V, W) sur B peut toujours, dans les problèmes réels, être représenté par 3 fonctions g,p,q. g étant à valeurs réelles définie sur B, p et q desn fonctions de R dans R, de telle sorte que :
– a’ T a g(a’)-g(a) <= q(g(a)) et g(a)- g(a’) <= q(g(a’)).
– a’ W a g(a)+q(g(a))< g(a’)<= g(a)+p(g(a)).
– a’ V a g(a’)> g(a)+p(g(a))
– Ou les fonctions seuils q et p sont telles que, Ɐ a, b ϵ B :
• p(g(a)) >= q(g(a)) )) >= 0
• g(a’)>g(a) ==> [g(a’)+q(g(a’)) >= g(a)+q(g(a)) et g(a’)+p(g(a’)) >=g(a)+q(g(a))
• On peut bâtir une structure de préférence du type (I, P, Q) ayant une structure de pseudo-ordre.