Dans ce qui suit, \(E\) et \(F\) désignent deux \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels. [web:192]

Définition. On appelle application linéaire (ou application linéaire de \(E\) dans \(F\)) toute application \(f : E \to F\) vérifiant : [web:189][web:192]

• Pour tous \(x_1,x_2 \in E\), \(f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)\). [web:189][web:192]
• Pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\) et tout \(x\in E\), \(f(\lambda x)=\lambda f(x)\). [web:189][web:192]

Remarque (forme équivalente). \(f\) est linéaire si et seulement si, pour tous \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) et tous \(x,y\in E\), on a : \(f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)\). [web:192]

Isomorphisme. Si \(f : E \to F\) est une application linéaire bijective, on dit que \(f\) est un isomorphisme de \(E\) sur \(F\). [web:200]

Endomorphisme. Si \(f : E \to E\) est une application linéaire de \(E\) dans lui-même, on dit que \(f\) est un endomorphisme de \(E\). [web:193]

Notations. On note \(L(E,F)\) l’ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(F\), et \(L(E)=L(E,E)\) l’ensemble des endomorphismes de \(E\). [web:190][web:192]

1) Application nulle.

L’application \(0_{E,F}:E\to F\) définie par \(0_{E,F}(x)=0_F\) pour tout \(x\in E\) est linéaire (car elle respecte l’addition et l’homogénéité). [web:189][web:192]

2) Application identité.

L’application \(\mathrm{id}_E:E\to E\), \(\mathrm{id}_E(x)=x\), est linéaire ; c’est un endomorphisme de \(E\). [web:189][web:192]

3) Application définie par une matrice.

Si \(A\in M_{n,p}(\mathbb{R})\), alors l’application \(f_A:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n\) définie par \(f_A(X)=AX\) est linéaire. [web:193][web:191]

Proposition.

• Si \(f,g\in L(E,F)\), alors \(f+g\in L(E,F)\), où \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). [web:190][web:192]
• Si \(f\in L(E,F)\) et \(\lambda\in\mathbb{R}\), alors \(\lambda f\in L(E,F)\), où \((\lambda f)(x)=\lambda f(x)\). [web:190][web:192]
• Si \(E,F,G\) sont des espaces vectoriels réels, \(f\in L(E,F)\) et \(g\in L(F,G)\), alors \(g\circ f \in L(E,G)\). [web:192][web:193]
• Si \(f\in L(E,F)\) est bijective, alors \(f^{-1}\in L(F,E)\) (l’inverse d’un isomorphisme est encore linéaire). [web:193][web:200]

L’ensemble des applications \(A(E,F)\) de \(E\) dans \(F\) (toutes les fonctions \(E\to F\)) peut être muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire définies point par point, ce qui en fait un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel dès que \(F\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. [web:192]

Comme \(L(E,F)\) est stable par addition et par multiplication scalaire (proposition précédente), on en déduit que \(L(E,F)\) est un sous-espace vectoriel de \(A(E,F)\), et en particulier un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. [web:190][web:192]