Dans toute cette section, on suppose que l’espace de départ \(E\) est de dimension finie, et on considère une application linéaire \(f : E \to F\).

Proposition.

Si \(\{e_1,\dots,e_k\}\) est une famille génératrice de \(E\), alors \(\{f(e_1),\dots,f(e_k)\}\) est une famille génératrice de \(\mathrm{Im}(f)\).

Conséquences.

• \(\mathrm{Im}(f)\) est de dimension finie (car elle est engendrée par une famille finie).
• Pour construire une base de \(\mathrm{Im}(f)\) : prendre une base \(\{e_1,\dots,e_p\}\) de \(E\), former la famille \(\{f(e_1),\dots,f(e_p)\}\), puis en extraire une base de \(\mathrm{Im}(f)\) en supprimant les vecteurs redondants.
• Si \(\{e_1,\dots,e_k\}\) engendre \(E\), alors \(\dim(\mathrm{Im}(f))\) est égale au rang (au sens “dimension de l’espace engendré”) de la famille \(\{f(e_1),\dots,f(e_k)\}\).

Théorème (du rang).

Si \(E\) est de dimension finie, alors on a l’égalité :

\( \dim(\mathrm{Im}(f)) + \dim(\mathrm{Ker}(f)) = \dim(E). \)

Cette relation est appelée théorème du rang ou théorème rang–nullité.

Définition (rang de \(f\)).

On appelle rang de \(f\) (et on note \(\mathrm{rg}(f)\)) la dimension de son image :

\( \mathrm{rg}(f) = \dim(\mathrm{Im}(f)). \)

Le théorème du rang s’écrit donc aussi : \( \mathrm{rg}(f) + \dim(\mathrm{Ker}(f)) = \dim(E) \).

• Comme \(\dim(\mathrm{Ker}(f)) \ge 0\), on a toujours \(\mathrm{rg}(f)\le \dim(E)\).
• Si \(F\) est aussi de dimension finie, alors \(\mathrm{rg}(f)\le \dim(F)\), car \(\mathrm{Im}(f)\) est un sous-espace de \(F\).
• Si \(F\) est de dimension finie, \(f\) est surjective \(\Longleftrightarrow\ \mathrm{Im}(f)=F\) \(\Longleftrightarrow\ \mathrm{rg}(f)=\dim(F)\).

On suppose toujours \(\dim(E)<\infty\).

1) Critère d’injectivité.

\(f\) est injective \(\Longleftrightarrow\ \mathrm{Ker}(f)=\{0\}\) \(\Longleftrightarrow\ \dim(\mathrm{Ker}(f))=0\) \(\Longleftrightarrow\ \mathrm{rg}(f)=\dim(E)\).

En particulier, si \(f\) est injective, alors \(\dim(E)\le \dim(F)\) (si \(F\) est de dimension finie).

2) Si \(f\) est surjective.

Alors \(F=\mathrm{Im}(f)\) est de dimension finie et \(\dim(F)\le \dim(E)\).

3) Si \(f\) est bijective.

Alors \(F\) est de dimension finie et \(\dim(F)=\dim(E)\).

Théorème.

Si \(E\) et \(F\) sont de dimension finie et si \(\dim(E)=\dim(F)\), alors pour toute application linéaire \(f : E \to F\), on a les équivalences :

\( f \text{ injective } \Longleftrightarrow f \text{ surjective } \Longleftrightarrow f \text{ bijective}. \)

En particulier, ce résultat s’applique aux endomorphismes (cas \(E=F\)).