Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels et \(f : E \to F\) une application linéaire. 

Définition (image).

On appelle image de \(f\) (et on note \(\mathrm{Im}(f)\)) l’ensemble des vecteurs de \(F\) qui sont atteints par \(f\) :

\( \mathrm{Im}(f) = f(E) = \{\, y\in F \mid \exists x\in E,\ y=f(x)\,\}. \)

Définition (noyau).

On appelle noyau de \(f\) (et on note \(\mathrm{Ker}(f)\)) l’ensemble des vecteurs de \(E\) envoyés sur le vecteur nul de \(F\) :

\( \mathrm{Ker}(f) = f^{-1}(\{0_F\}) = \{\, x\in E \mid f(x)=0_F \,\}. \)

Proposition.

• \(\mathrm{Im}(f)\) est un sous-espace vectoriel de \(F\).
• \(\mathrm{Ker}(f)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
• \(f\) est injective si et seulement si \(\mathrm{Ker}(f)=\{0_E\}\).
• \(f\) est surjective si et seulement si \(\mathrm{Im}(f)=F\).