تتمثل في مجموع الدفعات إضافة للفوائد المترتبة عليها إلى غاية آخر مدة العقد التي توافق مع آخر دفعة.

V_n= a(1+t)^n-1 +[a+r](1+t)^n-2 +[a+2r](1+t)^n-3 + ………. +[a+(n-2)r](1+t) + a+(n-1)r

نقوم بعملية النشر و إخراج a عامل مشترك.

V_n= a(1+t)^n-1 +a (1+t)^n-2 +a(1+t)^n-3 + ………. +a(1+t) + a + r (1+t)^n-2 +r(1+t)^n-3 + ………. +(n-2)r(1+t) + (n-1)r

لتبسيطها نقوم بتجزئتها لقسمين: V_n= V_n1 + V_n2

  V_n1= a(1+t)^n-1 +a (1+t)^n-2 +a(1+t)^n-3 + ………. +a(1+t) + a

نلاحظ أن V_n1 تمثل متتالية هندسية أساسها (1+t)  و حدها الأول a و عدد حدودها n ، و عليه يمكن تعويضها بعلاقة المجموع.

V_n2 = r (1+]t)^n-2 +2r(1+t)^n-3 + ………. +(n-2)r(1+t) + (n-1)r

بضرب طرفي المعادلة في (1+t) نحصل على:

V_n2 ( 1+t) = r (1+t)^n-1 +2r(1+t)^n-2 + ………. +(n-2)r(1+t)² + (n-1)r (1+t)

نقوم بعملية الطرح للعلاقتين الأخيرتين طرف لطرف مع الأخذ بعين الاعتبار الحدود التي لها نفس القوة.

V_n2 ( 1+t)-V_n2 =r (1+t)^n-1 +[2r(1+t)^n-2 -r (1+t)^n-2] + [3r(1+t)^n-3-2 r(1+t)^n-3]+……….    +[(n-2)r(1+t)² - (n-3)r (1+t)²]+[(n-1)r(1+t)-(n-2)r(1+t)]- (n-1)r

                  = [r(1+t)^n-1 + r(1+t)^n-2 + r(1+t)^n-3+…..+r(1+t)² + r(1+t) + r]-nr

نلاحظ أن بين العارضتين هناك متتالية هندسية أساسها (1+t)، و حدها الأول r، و عدد حدودها n.

بالتالي تصبح العلاقة الأخيرة كالتالي:

مثال (4-13):

 وظف شخص 6 دفعات سنوية تتزايد بقيمة 1000 دج سنويا حيث قيمة الدفعة الأولى 3000 دج و ذلك بمعدل فائدة مركبة 5% .

-        .أحسب الجملة المحصل عليها عند آخر دفعة ؟

الحل:

n= 6        t = 5%         a = 3000 DA          r= 1000 DA