Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels et \(f : E \to F\) une application linéaire. Voici des propriétés de base très utiles pour les calculs et les preuves.

Proposition.

1) \(f\) préserve les combinaisons linéaires.

Pour tout entier \(k\ge 1\), pour tous scalaires \((\lambda_1,\dots,\lambda_k)\in\mathbb{R}^k\) et pour tous vecteurs \((x_1,\dots,x_k)\in E^k\), on a :

\( f\!\left(\sum_{i=1}^k \lambda_i x_i\right) = \sum_{i=1}^k \lambda_i f(x_i). \)

Cette propriété est une conséquence directe de l’additivité et de l’homogénéité. 

2) Image du vecteur nul et de l’opposé.

On a toujours : \(f(0_E)=0_F\) et, pour tout \(x\in E\), \(f(-x)=-f(x)\). 

3) Image directe d’un sous-espace.

Si \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), alors son image directe \(f(G)=\{f(x)\mid x\in G\}\) est un sous-espace vectoriel de \(F\). 

4) Image réciproque d’un sous-espace.

Si \(H\) est un sous-espace vectoriel de \(F\), alors l’image réciproque \(f^{-1}(H)=\{x\in E\mid f(x)\in H\}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). 

Pour montrer que \(f\) est linéaire (souvent facile).

• Vérifier directement la définition : \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) et \(f(\lambda x)=\lambda f(x)\). 
• Ou bien écrire \(f\) comme somme, combinaison linéaire ou composée d’applications linéaires (car ces opérations conservent la linéarité).

Pour montrer que \(f\) n’est pas linéaire (souvent plus délicat).

Il suffit de trouver un contre-exemple, c’est‑à‑dire exhiber un point où l’une des propriétés échoue. On peut tester (par ordre d’efficacité) :

• Vérifier si \(f(0_E)=0_F\) (si ce n’est pas vrai, \(f\) n’est pas linéaire). 
• Trouver \(x\in E\) tel que \(f(-x)\neq -f(x)\). 
• Trouver \(\lambda\in\mathbb{R}\) et \(x\in E\) tels que \(f(\lambda x)\neq \lambda f(x)\).
• Trouver \(x,y\in E\) tels que \(f(x+y)\neq f(x)+f(y)\).