L’un des exemples les plus simples conduisant à une équation différentielle est celui de la chute d’un corps dans le vide (sans frottement de l’air). Cette situation permet d’illustrer comment une loi physique se traduit naturellement par une relation mathématique entre une fonction et sa dérivée.

Lorsqu’un corps tombe verticalement dans le vide, il est soumis uniquement à son poids noté P⃗. D’après le principe fondamental de la mécanique (seconde loi de Newton) :

P⃗ = m a⃗

Tous les vecteurs étant verticaux, on peut écrire sous forme scalaire :

m g = m a

où :

• m est la masse du corps,
• g est l’accélération de la pesanteur (≈ 9,81 m/s²),
• a est l’accélération verticale.

En simplifiant par m (supposée non nulle), on obtient :

a = g

Or, par définition, l’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps :

dv(t) / dt = g

Cette relation est une équation différentielle du premier ordre. En intégrant par rapport au temps, on obtient la vitesse :

v(t) = g t

(en supposant que la vitesse initiale est nulle). La vitesse augmente donc linéairement avec le temps.

Comme la vitesse est la dérivée de la position :

v(t) = dx(t) / dt

Une nouvelle intégration donne alors :

x(t) = (1/2) g t²

(en supposant que la position initiale est nulle). On remarque que la position évolue quadratiquement en fonction du temps.

Dans la réalité, un parachutiste ne tombe pas dans le vide. Il subit une force de frottement de l’air opposée à son mouvement. Cette force dépend de la vitesse.

Pour simplifier le modèle, on suppose que la force de frottement est proportionnelle à la vitesse :

F = − f m v

où f est un coefficient positif représentant l’intensité du frottement. Le signe « − » indique que la force est opposée au mouvement.

Le principe fondamental devient alors :

m g − f m v = m a

Après simplification par m :

a = g − f v

Comme précédemment, a = dv/dt, donc on obtient :

dv(t) / dt = g − f v(t)

Cette relation est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Contrairement au cas précédent, la vitesse n’augmente plus indéfiniment : l’effet des frottements limite progressivement l’accélération.

Le rôle des équations différentielles est précisément de déterminer la fonction v(t) qui satisfait cette relation. Une fois la vitesse trouvée, on pourra intégrer pour obtenir la position x(t).

Ce type de modèle explique pourquoi un parachutiste atteint une vitesse limite constante au bout d’un certain temps.