Le théorème de Cauchy–Lipschitz (aussi appelé théorème de Picard–Lindelöf) est un résultat fondamental d’analyse qui garantit l’existence et l’unicité des solutions d’équations différentielles dans de bonnes conditions.

Dans le cas spécifique des équations linéaires du premier ordre \( y'(x) = a(x) y(x) + b(x) \), où \( a, b : I \to \mathbb{R} \) sont continues sur un intervalle ouvert \( I \subset \mathbb{R} \), le théorème affirme que :

• pour tout \( x_0 \in I \) et tout \( y_0 \in \mathbb{R} \) ;
• il existe une et une seule solution \( y : I \to \mathbb{R} \) telle que \( y(x_0) = y_0 \).

Cette propriété d’unicité est particulièrement précieuse pour les applications physiques et numériques.

On note \( A \) une primitive de \( a \) sur \( I \) qui s’annule en \( x_0 \), c’est‑à‑dire :

• \( A'(x) = a(x) \) pour tout \( x \in I \) ;
• \( A(x_0) = 0 \).

La solution unique de \( y' = a(x) y + b(x) \) vérifiant \( y(x_0) = y_0 \) est explicitement donnée par :

\( y(x) = e^{A(x)} \Biggl( \displaystyle\int_{x_0}^{x} b(t) e^{-A(t)} \, dt + y_0 \Biggr) \).

Cette formule combine la méthode du facteur intégrant et le principe de superposition. On vérifie immédiatement que \( y(x_0) = y_0 \) puisque \( A(x_0) = 0 \) et que l’intégrale sur un intervalle nul vaut zéro.

Trouvons la solution de l’équation \( y' + y = e^x + 1 \) vérifiant la condition initiale \( y(1) = 2 \).

La solution générale (trouvée précédemment) est : \( y(x) = \frac{1}{2} e^x + 1 + k e^{-x} \).

On impose \( y(1) = 2 \) :

\( \frac{1}{2} e^1 + 1 + k e^{-1} = 2 \)

\( \frac{e}{2} + 1 + \frac{k}{e} = 2 \)

\( \frac{k}{e} = 2 - 1 - \frac{e}{2} = 1 - \frac{e}{2} \)

\( k = e \left(1 - \frac{e}{2}\right) = e - \frac{e^2}{2} \)

La solution unique est donc :

\( y(x) = \frac{1}{2} e^x + 1 + \left(e - \frac{e^2}{2}\right) e^{-x} \).

Le théorème de Cauchy–Lipschitz garantit que c’est bien la seule solution vérifiant \( y(1) = 2 \).