Une équation différentielle est une équation mathématique :

• dont l’inconnue est une fonction, en général notée \( y(x) \) ou simplement \( y \) ;
• dans laquelle apparaissent des dérivées de cette fonction : dérivée première \( y'(x) \), dérivée seconde \( y''(x) \), dérivée d’ordre 3 \( y^{(3)}(x) \), et plus généralement \( y^{(n)}(x) \).

Par exemple, l’égalité \( y'(x) = \sin x \) est une équation différentielle : l’inconnue est la fonction \( y \) et on y voit apparaître sa dérivée première.

On parle d’équation différentielle d’ordre \( n \) lorsque l’ordre le plus élevé des dérivées qui apparaissent est \( n \). Par exemple, si l’on voit \( y'' \) mais pas de dérivée d’ordre supérieur, on dit que l’équation est d’ordre 2.

Exemples simples à résoudre de tête.

On peut parfois deviner facilement au moins une solution d’une équation différentielle, en utilisant le lien entre dérivées et primitives.

• Équation : \( y' = \sin x \).
Toute primitive de \( \sin x \) convient, par exemple : \( y(x) = -\cos x + k \), \( k \in \mathbb{R} \).

• Équation : \( y' = 1 + e^x \).
Une primitive de \( 1 \) est \( x \) et une primitive de \( e^x \) est \( e^x \). Une famille de solutions est donc \( y(x) = x + e^x + k \), \( k \in \mathbb{R} \).

• Équation : \( y' = y \).
On connaît une fonction dont la dérivée est elle‑même : l’exponentielle. Pour tout \( k \in \mathbb{R} \), \( y(x) = k e^x \) est solution.

• Équation : \( y' = 3y \).
On sait que \( (e^{3x})' = 3 e^{3x} \). Donc, pour tout \( k \in \mathbb{R} \), \( y(x) = k e^{3x} \) est solution.

• Équation d’ordre 2 : \( y'' = \cos x \).
Une primitive de \( \cos x \) est \( \sin x \), et une primitive de \( \sin x \) est \( -\cos x \). On obtient donc \( y(x) = -\cos x + a x + b \), \( a, b \in \mathbb{R} \).

• Autre équation d’ordre 2 : \( y'' = y \).
Les fonctions \( e^x \) et \( e^{-x} \) vérifient chacune \( y'' = y \). Toute combinaison linéaire \( y(x) = a e^x + b e^{-x} \), \( a, b \in \mathbb{R} \), est solution.

Vérifier qu’une fonction est solution.

Une fois une fonction candidate proposée, il est en général simple de vérifier qu’elle est bien solution : on calcule les dérivées nécessaires puis on les remplace dans l’équation.

Exemple. Considérons l’équation différentielle \( y' = 2x\,y + 4x \) sur \( \mathbb{R} \). On affirme que, pour tout \( k \in \mathbb{R} \), la fonction \( y(x) = k\,e^{x^2} - 2 \) est solution.

En effet, on dérive : \( y'(x) = k \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2x\,k e^{x^2} \).
Or \( y(x) + 2 = k e^{x^2} \), donc \( y'(x) = 2x\bigl(y(x) + 2\bigr) = 2x\,y(x) + 4x \).
L’égalité de l’équation différentielle est vérifiée pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Autre exemple. Considérons l’équation \( x^2 y'' - 2y + 2x = 0 \) sur \( \mathbb{R} \). Montrons que, pour tout \( k \in \mathbb{R} \), la fonction \( y(x) = kx^2 + x \) est solution (au moins sur tout intervalle où \( x \neq 0 \)).

On dérive : \( y'(x) = 2k x + 1 \), \( y''(x) = 2k \).
On calcule alors :

\( x^2 y'' - 2y + 2x = x^2 \cdot 2k - 2(kx^2 + x) + 2x = 2k x^2 - 2k x^2 - 2x + 2x = 0. \)

L’équation est donc bien satisfaite.

On peut maintenant donner une définition générale d’une équation différentielle et de ce que l’on appelle une solution.

On considère une fonction \( F : \mathbb{R}^{n+2} \to \mathbb{R} \). Une équation différentielle d’ordre \( n \) est une équation de la forme :

\( F\bigl(x, y, y', \dots, y^{(n)}\bigr) = 0. \)

Une solution de cette équation sur un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \) est une fonction \( y : I \to \mathbb{R} \) qui :

• est \( n \) fois dérivable sur l’intervalle \( I \) ;
• vérifie \( F\bigl(x, y(x), y'(x), \dots, y^{(n)}(x)\bigr) = 0 \) pour tout \( x \in I \).

Remarques importantes.

• Pour alléger les écritures, on note souvent \( y \) au lieu de \( y(x) \), \( y' \) au lieu de \( y'(x) \), etc. Par exemple, écrire \( y' = \sin x \) signifie en réalité \( y'(x) = \sin x \) pour tout \( x \).
• L’inconnue n’est pas toujours notée \( y \) et la variable n’est pas toujours \( x \). On peut chercher une fonction \( x(t) \) dépendant du temps \( t \). Par exemple :

  \( \bigl(x''(t)\bigr)^3 + t \bigl(x'(t)\bigr)^3 + (\sin t)\,x(t)^4 = e^t. \)

  C’est une équation différentielle d’ordre \( 2 \) dont l’inconnue est la fonction \( x : t \mapsto x(t) \).
• Rechercher une primitive revient déjà à résoudre une équation différentielle du type \( y' = f(x) \). C’est pourquoi on dit souvent « intégrer l’équation différentielle » pour « trouver ses solutions ».
• Le choix de l’intervalle d’étude est fondamental. Une même équation différentielle peut admettre des expressions de solutions différentes selon l’intervalle, à cause par exemple des domaines de définition de \( \ln \), des racines, etc.
• Par exemple, l’équation \( y' = 1/x \) a pour solutions sur \( I_1 = ]0,+\infty[ \) les fonctions \( y(x) = \ln(x) + k \), tandis que sur \( I_2 = ]-\infty,0[ \), les solutions sont \( y(x) = \ln(-x) + k \), avec \( k \in \mathbb{R} \).
• Si rien n’est précisé, on dit souvent que l’on travaille sur \( \mathbb{R} \), mais en réalité on se place toujours sur un intervalle où toutes les fonctions sont bien définies et dérivables.

Une classe très importante et assez simple d’équations différentielles est celle des équations à variables séparées.

Une telle équation peut s’écrire sous la forme :

\( y' = \dfrac{g(x)}{f(y)} \)   ou encore   \( \dfrac{y'}{f(y)} = g(x). \)

L’idée est de « séparer » les rôles de \( x \) et \( y \) pour pouvoir intégrer des deux côtés.

• On suppose que \( f(y) \neq 0 \) sur l’intervalle considéré. On réécrit alors \( \dfrac{y'}{f(y)} = g(x). \)
• Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors \( F' = f \). Par dérivation d’une composition, \( \bigl(F(y(x))\bigr)' = y'(x)\,F'(y(x)) = y'(x)\,f(y(x)) \).
• De même, si \( G' = g \), l’équation devient essentiellement \( \bigl(F(y(x))\bigr)' = G'(x) \), ce qui donne, après intégration, \( F(y(x)) = G(x) + c \), \( c \in \mathbb{R} \).
• Il reste ensuite, quand c’est possible, à isoler \( y \) pour obtenir \( y(x) \) explicitement.

Exemple détaillé : équation à variables séparées.

Considérons l’équation différentielle :

\( x^2 y' = e^{-y} \).

On suppose \( x \neq 0 \). On sépare les variables \( x \) et \( y \) :

\( y' = \dfrac{e^{-y}}{x^2} \quad \Rightarrow \quad e^{y} y' = \dfrac{1}{x^2}. \)

On reconnaît la dérivée de \( e^{y(x)} \), car \( \bigl(e^{y(x)}\bigr)' = e^{y(x)} y'(x) \). On a donc :

\( \bigl(e^{y(x)}\bigr)' = \dfrac{1}{x^2}. \)

On intègre des deux côtés par rapport à \( x \) :

\( e^{y(x)} = \int \dfrac{1}{x^2}\,dx = -\dfrac{1}{x} + c, \quad c \in \mathbb{R}. \)

Comme \( e^{y(x)} > 0 \), il faut imposer \( -\dfrac{1}{x} + c > 0 \). Sur tout intervalle où cette condition est satisfaite, on peut prendre le logarithme :

\( y(x) = \ln\!\Bigl(-\dfrac{1}{x} + c\Bigr). \)

Cette expression définit une solution sur tout intervalle \( I \) inclus dans l’ensemble des \( x \) tels que \( x \neq 0 \) et \( -\dfrac{1}{x} + c > 0 \). Cet ensemble dépend de la constante \( c \) :

• si \( c < 0 \), on obtient un intervalle de la forme \( \bigl]\tfrac{1}{c},\,0\bigr[ \);
• si \( c = 0 \), on obtient \( ]-\infty,\,0[ \);
• si \( c > 0 \), l’expression est définie pour tout \( x < 0 \) et \( x > \tfrac{1}{c} \). On peut alors choisir par exemple \( ]-\infty,\,0[ \) ou \( \bigl]\tfrac{1}{c}, +\infty\bigr[ \).

Cet exemple montre que le choix de l’intervalle d’étude fait réellement partie de la résolution d’une équation différentielle.