On s’intéresse maintenant à une famille très importante d’équations : les équations différentielles linéaires du premier ordre.

Par définition, une équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle ouvert \( I \subset \mathbb{R} \) est une équation de la forme :

\( y'(x) = a(x)\,y(x) + b(x) \)

où \( a \) et \( b \) sont des fonctions réelles définies sur \( I \). Dans la suite, on supposera qu’elles sont continues sur \( I \) (hypothèse naturelle pour garantir l’existence et l’unicité des solutions).

On rencontre aussi des équations écrites sous la forme plus générale :

\( \alpha(x)\,y'(x) + \beta(x)\,y(x) = \gamma(x), \)

où \( \alpha, \beta, \gamma \) sont des fonctions données sur \( I \). Si l’on suppose \( \alpha(x) \neq 0 \) pour tout \( x \in I \), il suffit de diviser toute l’égalité par \( \alpha(x) \) pour la remettre sous la forme standard \( y' = a(x)\,y + b(x) \).

Dans ce qui suit, on va étudier progressivement trois cas :

• d’abord le cas simple \( y' = a y \) où \( a \) est une constante et \( b = 0 \) ;
• puis le cas \( y' = a(x)\,y \) avec \( a \) fonction continue et toujours \( b = 0 \) ;
• enfin le cas général \( y' = a(x)\,y + b(x) \).

On commence par l’étude de l’équation très simple mais fondamentale :

\( y' = a y \)   (avec \( a \) réel constant).

On travaille ici sur tout \( \mathbb{R} \), mais on pourrait aussi se limiter à tout intervalle de \( \mathbb{R} \).

Énoncé du théorème.

Soit \( a \in \mathbb{R} \) fixé. Les solutions de l’équation différentielle \( y' = a y \) sur \( \mathbb{R} \) sont exactement les fonctions de la forme :

\( y(x) = k\,e^{a x}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Autrement dit, l’ensemble des solutions est une famille à un paramètre réel \( k \).

Idée heuristique (non rigoureuse) de la preuve.

On peut « deviner » cette forme de solution en manipulant l’équation comme une égalité algébrique :

• On suppose d’abord \( y(x) \neq 0 \) pour pouvoir diviser par \( y(x) \). On réécrit \( y' = a y \quad \Longleftrightarrow \quad \dfrac{y'}{y} = a. \)
• On intègre de chaque côté par rapport à \( x \) : \( \displaystyle \int \dfrac{y'}{y}\,dx = \int a\,dx. \)
• Or \( \dfrac{y'}{y} \) est la dérivée de \( \ln|y| \), ce qui donne \( \ln|y(x)| = a x + b \), pour une certaine constante \( b \in \mathbb{R} \).
• En exponentiant, on obtient : \( |y(x)| = e^{a x + b} = e^{b}\,e^{a x}. \) Donc \( y(x) = \pm e^{b} e^{a x}. \) En posant \( k = \pm e^{b} \), on retrouve la forme \( y(x) = k e^{a x} \) (pour les solutions non nulles).

Cette démarche donne la bonne formule, mais n’est pas complètement rigoureuse (il faudrait traiter soigneusement le cas \( y = 0 \) et l’hypothèse \( y \neq 0 \)). Une preuve rigoureuse est donnée plus loin à l’aide d’un argument simple.

Exemple. Résoudre l’équation différentielle

\( 3y'(x) - 5y(x) = 0 \) sur \( \mathbb{R} \).

On commence par isoler \( y' \) pour reconnaître le cas précédent :

\( 3y' - 5y = 0 \;\Longleftrightarrow\; 3y' = 5y \;\Longleftrightarrow\; y' = \dfrac{5}{3} y. \)

On se trouve donc dans la situation \( y' = a y \) avec \( a = \dfrac{5}{3} \). D’après le théorème précédent, les solutions sur \( \mathbb{R} \) sont données par :

\( y(x) = k\,e^{\frac{5}{3} x}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

On remarque que la constante \( k \) peut être nulle, ce qui donne la solution \( y(x) = 0 \) (solution évidente). Pour \( k \neq 0 \), on obtient des courbes exponentielles soit strictement croissantes (\( a > 0 \)), soit strictement décroissantes (\( a < 0 \)), qui modélisent un phénomène de croissance ou de décroissance exponentielle.

On peut résumer ainsi : l’équation \( y' = a y \) admet une infinité de solutions, et toutes ces solutions sont des multiples d’une solution de référence, par exemple \( y_0(x) = e^{a x} \). L’ensemble des solutions forme donc un sous‑espace vectoriel de dimension 1.

Étape 1 : les fonctions proposées sont bien solutions.

Soit \( k \in \mathbb{R} \) et considérons la fonction \( y(x) = k\,e^{a x} \). On calcule sa dérivée : \( y'(x) = k a e^{a x} = a\,y(x). \) Donc \( y' = a y \) est bien vérifiée pour tout \( x \). Ces fonctions sont donc des solutions de l’équation.

Étape 2 : ce sont les seules solutions.

Soit maintenant \( y \) une solution quelconque de \( y' = a y \) sur \( \mathbb{R} \). On définit une nouvelle fonction \( z(x) = y(x)\,e^{-a x}. \)

On dérive \( z \) en utilisant la formule de dérivation d’un produit :

\( z'(x) = y'(x)\,e^{-a x} + y(x)\,(-a)\,e^{-a x} = e^{-a x}\,\bigl(y'(x) - a y(x)\bigr). \)

Mais, comme \( y \) est solution de \( y' = a y \), on a \( y'(x) - a y(x) = 0 \) pour tout \( x \). On en déduit \( z'(x) = 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).

Ainsi, \( z \) est une fonction constante sur \( \mathbb{R} \). Il existe donc une constante \( k \in \mathbb{R} \) telle que \( z(x) = k \) pour tout \( x \).

En revenant à \( y \), on obtient :

\( z(x) = y(x)e^{-a x} = k \;\Longrightarrow\; y(x) = k\,e^{a x}. \)

Toute solution de \( y' = a y \) est donc nécessairement de la forme \( y(x) = k\,e^{a x} \) pour une certaine constante \( k \). Le théorème est ainsi entièrement démontré.