On généralise maintenant le cas simple \( y' = a y \), où \( a \) est une constante, au cas où le coefficient \( a(x) \) dépend de la variable \( x \).

On considère un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \) et une fonction \( a : I \to \mathbb{R} \) continue. L’équation étudiée est :

\( y'(x) = a(x)\,y(x). \)

Le théorème qui suit montre que résoudre cette équation revient, en pratique, à connaître une primitive de \( a \). En revanche, cette primitive n’est pas toujours exprimable à l’aide de fonctions usuelles.

Théorème.

Soit \( a : I \to \mathbb{R} \) une fonction continue, et soit \( A : I \to \mathbb{R} \) une primitive de \( a \), c’est‑à‑dire une fonction dérivable telle que \( A'(x) = a(x) \) pour tout \( x \in I \).

Considérons l’équation différentielle \( y'(x) = a(x)\,y(x) \) sur \( I \).

Alors toutes les solutions sur \( I \) sont données par :

\( y(x) = k\,e^{A(x)}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Autrement dit, une fois qu’on connaît une primitive \( A \) de \( a \), la solution générale s’écrit sous la forme exponentielle ci‑dessus, avec un paramètre réel \( k \).

On retrouve le cas précédent lorsque \( a(x) = a \) est constante : une primitive est alors \( A(x) = a x \), et l’on obtient \( y(x) = k\,e^{A(x)} = k\,e^{a x} \), ce qui coïncide avec le résultat du théorème pour \( y' = a y \).

Idée rapide (non rigoureuse) de la formule.

En raisonnant comme dans le cas constant, on peut « deviner » la forme des solutions :

• On part de \( y'(x) = a(x)\,y(x) \). Si \( y(x) \neq 0 \), on peut écrire \( \dfrac{y'(x)}{y(x)} = a(x). \)
• On intègre sur un intervalle de \( I \) : \( \displaystyle \int \dfrac{y'}{y}\,dx = \int a(x)\,dx. \)
• On sait que \( \dfrac{y'}{y} \) est la dérivée de \( \ln|y| \), et qu’une primitive de \( a(x) \) est \( A(x) \). On obtient donc \( \ln|y(x)| = A(x) + b \), pour une certaine constante \( b \in \mathbb{R} \).
• En exponentiant, \( |y(x)| = e^{A(x) + b} = e^{b}\,e^{A(x)}. \) On peut écrire \( y(x) = \pm e^{b} e^{A(x)}. \) En posant \( k = \pm e^{b} \), on retrouve la forme \( y(x) = k\,e^{A(x)}. \)

Cette démarche explique l’apparition de \( e^{A(x)} \), mais n’est pas complètement rigoureuse (division par \( y \) sans traiter le cas \( y = 0 \)). On donne ci‑dessous une démonstration rigoureuse.

On part toujours de l’équation \( y'(x) = a(x)\,y(x) \) sur \( I \).

Étape 1 : vérification que les fonctions proposées sont solutions.

Soit \( k \in \mathbb{R} \). On définit \( y(x) = k\,e^{A(x)} \). Comme \( A \) est dérivable et \( A'(x) = a(x) \), on a :

\( y'(x) = k\,e^{A(x)} A'(x) = k\,e^{A(x)} a(x) = a(x)\,y(x). \)

Les fonctions \( x \mapsto k\,e^{A(x)} \) sont donc bien solutions de l’équation différentielle.

Étape 2 : montrer qu’il n’existe pas d’autres solutions.

Soit \( y \) une solution quelconque de \( y'(x) = a(x)\,y(x) \) sur \( I \). On définit une nouvelle fonction \( z(x) = y(x)\,e^{-A(x)}. \)

La fonction \( z \) est dérivable sur \( I \), et en dérivant (produit de deux fonctions dérivables) on obtient :

\( z'(x) = y'(x)\,e^{-A(x)} + y(x)\,\bigl(-A'(x)\bigr)\,e^{-A(x)} = e^{-A(x)}\bigl(y'(x) - a(x)\,y(x)\bigr). \)

Or, comme \( y \) est solution de l’équation, \( y'(x) - a(x)\,y(x) = 0 \) pour tout \( x \in I \). Il vient donc \( z'(x) = 0 \) pour tout \( x \in I \).

Ainsi, \( z \) est une fonction constante sur \( I \) : il existe une constante \( k \in \mathbb{R} \) telle que \( z(x) = k \) pour tout \( x \in I \).

Par définition de \( z \), on a \( y(x)\,e^{-A(x)} = k \), soit encore \( y(x) = k\,e^{A(x)}. \)

Toute solution de \( y'(x) = a(x)\,y(x) \) est donc de la forme annoncée, ce qui achève la preuve.

Résolvons l’équation différentielle \( x^2 y'(x) = y(x). \)

On remarque que l’expression \( 1/x^2 \) n’a de sens ni en \( x = 0 \), ni sur tout \( \mathbb{R} \). On doit donc se placer sur un intervalle où \( x \neq 0 \), par exemple :

• \( I_+ = ]0, +\infty[ \) ;
• ou \( I_- = ]-\infty, 0[ \).

Sur un tel intervalle, on peut diviser par \( x^2 \) et réécrire l’équation sous la forme standard :

\( x^2 y'(x) = y(x) \;\Longleftrightarrow\; y'(x) = \dfrac{1}{x^2}\,y(x). \)

On reconnaît une équation de type \( y' = a(x)\,y \) avec \( a(x) = \dfrac{1}{x^2}. \)

Il faut donc trouver une primitive \( A \) de \( a \) :

\( A'(x) = \dfrac{1}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad A(x) = -\dfrac{1}{x} + C, \)

où \( C \) est une constante réelle quelconque. Pour la solution générale, on peut choisir une primitive particulière, par exemple \( A(x) = -\dfrac{1}{x} \).

D’après le théorème, les solutions sur \( I_+ \) (ou sur \( I_- \)) sont donc données par :

\( y(x) = k\,e^{A(x)} = k\,e^{-\frac{1}{x}}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Chaque choix de \( k \) donne une solution différente, définie sur l’intervalle choisi (\( I_+ \) ou \( I_- \)). Une fois de plus, le choix de l’intervalle d’étude est essentiel pour que toutes les expressions aient un sens.