On considère maintenant le cas général d’une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre :

\( y'(x) = a(x)\,y(x) + b(x) \)

où \( a : I \to \mathbb{R} \) et \( b : I \to \mathbb{R} \) sont des fonctions continues sur un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \).

L’équation homogène associée est obtenue en remplaçant le second membre par la fonction nulle :

\( y'(x) = a(x)\,y(x). \)

On connaît déjà la solution générale de cette équation homogène : si \( A \) est une primitive de \( a \) sur \( I \) (c’est‑à‑dire \( A'(x) = a(x) \)), alors toutes les solutions de l’équation homogène sont de la forme

\( y_h(x) = k\,e^{A(x)}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Principe de superposition.

L’idée clé est que, pour une équation différentielle linéaire, toute solution de l’équation complète (avec second membre) s’obtient en ajoutant :

• une solution particulière \( y_0 \) de l’équation complète \( y' = a(x)\,y + b(x) \) ;
• et une solution quelconque \( y_h \) de l’équation homogène associée \( y' = a(x)\,y. \)

Proposition (forme générale des solutions).

On suppose que \( y_0 : I \to \mathbb{R} \) est une solution particulière de l’équation \( y' = a(x)\,y + b(x) \) , et que \( A \) est une primitive de \( a \) sur \( I \).

Alors toutes les solutions de l’équation complète sur \( I \) sont les fonctions \( y : I \to \mathbb{R} \) de la forme :

\( y(x) = y_0(x) + k\,e^{A(x)}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

En pratique, la résolution de l’équation complète se réduit donc à deux tâches :

• déterminer une primitive \( A \) de \( a \) (pour connaître les solutions de l’homogène) ;
• trouver au moins une solution particulière \( y_0 \) de l’équation complète.

Exemple simple avec solution particulière évidente.

Considérons l’équation différentielle \( y'(x) = 2x\,y(x) + 4x. \)

On remarque immédiatement que la fonction constante \( y_0(x) = -2 \) est solution, car \( y_0'(x) = 0 \) et \( 2x\,(-2) + 4x = -4x + 4x = 0. \)

L’équation homogène associée est \( y' = 2x\,y. \) Ici, \( a(x) = 2x \), donc une primitive est \( A(x) = x^2 \) (car \( A'(x) = 2x \)).

Les solutions de l’équation homogène sont donc \( y_h(x) = k\,e^{x^2}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

D’après le principe de superposition, les solutions de \( y'(x) = 2x\,y(x) + 4x \) sont alors

\( y(x) = -2 + k\,e^{x^2}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Lorsque l’on ne voit pas de solution particulière « évidente », on utilise une méthode générale appelée méthode de variation de la constante. Le nom est paradoxal, car on permet justement à la constante de « varier », c’est‑à‑dire de devenir une fonction.

Idée de la méthode.

On sait que les solutions de l’équation homogène \( y' = a(x)\,y \) sont \( y_h(x) = k\,e^{A(x)}, \) où \( k \) est une constante réelle et \( A \) une primitive de \( a \).

L’idée est de chercher une solution particulière de l’équation complète \( y' = a(x)\,y + b(x) \) en remplaçant la constante \( k \) par une fonction inconnue \( k(x) \). On pose donc :

\( y_0(x) = k(x)\,e^{A(x)}. \)

Calcul de \( k(x) \).

On dérive \( y_0 \) :

\( y_0'(x) = k'(x)\,e^{A(x)} + k(x)\,A'(x)\,e^{A(x)} = k'(x)\,e^{A(x)} + a(x)\,k(x)\,e^{A(x)}. \)

En remarquant que \( y_0(x) = k(x)\,e^{A(x)} \), on obtient

\( y_0'(x) = a(x)\,y_0(x) + k'(x)\,e^{A(x)}. \)

Pour que \( y_0 \) soit une solution de l’équation complète \( y' = a(x)\,y + b(x) \), il faut et il suffit que

\( y_0'(x) = a(x)\,y_0(x) + b(x). \)

En comparant avec l’expression précédente de \( y_0'(x) \), on obtient

\( a(x)\,y_0(x) + k'(x)\,e^{A(x)} = a(x)\,y_0(x) + b(x) \) \(\;\Longleftrightarrow\; k'(x)\,e^{A(x)} = b(x). \)

Dès lors, \( k'(x) = b(x)\,e^{-A(x)}. \) On obtient donc \( k \) par intégration :

\( k(x) = \int b(t)\,e^{-A(t)}\,dt, \)

où l’on a introduit une variable muette \( t \) dans l’intégrale pour ne pas surcharger la notation en \( x \). Toute primitive convient ; la constante d’intégration correspond de toute façon à une solution de l’équation homogène, déjà prise en compte dans le terme \( k\,e^{A(x)} \) du cas général.

On en déduit une solution particulière de l’équation complète :

\( y_0(x) = e^{A(x)} \int b(t)\,e^{-A(t)}\,dt. \)

La solution générale est alors

\( y(x) = e^{A(x)} \int b(t)\,e^{-A(t)}\,dt + k\,e^{A(x)}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Cette écriture traduit bien le fait que l’on ajoute une solution particulière \( y_0 \) à la solution générale de l’équation homogène.

On veut résoudre l’équation différentielle suivante sur \( \mathbb{R} \) :

\( y'(x) + y(x) = e^x + 1. \)

Étape 1 : mise sous la forme standard.

On isole \( y' \) :

\( y'(x) = -y(x) + e^x + 1. \)

On reconnaît la forme \( y' = a(x)\,y + b(x) \) avec \( a(x) = -1, \quad b(x) = e^x + 1. \)

Étape 2 : équation homogène associée.

L’équation homogène est \( y' = -y. \) Ici, \( a(x) = -1 \) est constant, donc une primitive est \( A(x) = -x. \)

Les solutions de l’équation homogène sont donc

\( y_h(x) = k\,e^{-x}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Étape 3 : recherche d’une solution particulière par variation de la constante.

On cherche une solution particulière de la forme \( y_0(x) = k(x)\,e^{-x}, \) où \( k \) est une fonction inconnue.

On dérive \( y_0 \) :

\( y_0'(x) = k'(x)\,e^{-x} + k(x)\,(-1)\,e^{-x} = k'(x)\,e^{-x} - k(x)\,e^{-x}. \)

En ajoutant \( y_0(x) = k(x)\,e^{-x} \), on obtient

\( y_0'(x) + y_0(x) = \bigl(k'(x)\,e^{-x} - k(x)\,e^{-x}\bigr) + k(x)\,e^{-x} = k'(x)\,e^{-x}. \)

Pour que \( y_0 \) soit solution de l’équation complète \( y' + y = e^x + 1 \), il faut donc que

\( k'(x)\,e^{-x} = e^x + 1 \;\Longleftrightarrow\; k'(x) = (e^x + 1)\,e^{x} = e^{2x} + e^{x}. \)

On intègre :

\( k(x) = \int \bigl(e^{2x} + e^{x}\bigr)\,dx = \dfrac{1}{2}e^{2x} + e^{x} + C. \)

La constante \( C \) n’a pas d’importance pour la solution particulière, car elle correspondrait à ajouter un terme proportionnel à \( e^{-x} \), déjà présent dans la solution générale de l’homogène. On peut donc choisir \( C = 0 \), et prendre

\( k(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + e^{x}. \)

On en déduit une solution particulière \( y_0 \) :

\( y_0(x) = k(x)\,e^{-x} = \Bigl(\dfrac{1}{2}e^{2x} + e^{x}\Bigr)e^{-x} = \dfrac{1}{2}e^{x} + 1. \)

Étape 4 : solution générale.

D’après le principe de superposition, la solution générale de \( y' + y = e^x + 1 \) est la somme de cette solution particulière \( y_0 \) et d’une solution quelconque de l’équation homogène \( y_h(x) = k\,e^{-x} \).

\( y(x) = \dfrac{1}{2}e^{x} + 1 + k\,e^{-x}, \quad k \in \mathbb{R}. \)

Cette écriture explicite montre clairement la décomposition « solution générale = solution particulière + solution homogène ».