Cours4: chapitre 1

Statique des fluides (Principe d'Archimède)

16. Principe d’Archimède
Si l’on examine le comportement d’un cylindre de longueur L et de section S, immergé dans un fluide de masse volumique  dans le champ de pesanteur terrestre, ce cylindre est soumis à plusieurs forces :

- des forces radiales de pression qui s’exercent sur la paroi verticale et qui sont
diamétralement opposées et s’annulent deux à deux (f et f’),

- sur la surface inférieure s’exerce une force verticale normale à S, dirigée vers le
haut et d’intensité F2 = p2.S.

- sur la surface supérieure s’exerce une force verticale normale à S dirigée vers le
bas et d’intensité F1 = p1.S

Figure 1.4 : Poussée d’Archimède: cylindre immergé.

,

Puisque (h2-h1) n’est autre que la hauteur du cylindre. Donc :   (1.8)

La poussée d’Archimède est dirigée dans le sens inverse du champ de pesanteur, on peut l’énoncer sous cette forme:

"Tout corps totalement immergé dans un liquide est soumis à une poussée dirigée
du bas vers le haut et égale au poids du liquide déplacé, c'est-à-dire correspondant au volume du corps immergé"

Le comportement d’un corps immergé dans un fluide au repos ; soumis seulement aux forces de pression et de pesanteur, est donné par le sens du vecteur poids apparent Fapp, défini par la relation suivante:

la  projetons sur l’axe OZ donne:  Fapp = -m g + FA

avec Fapp,représentant le poids apparent;

mg représentant le poids réel;

 FA représentant la poussée d’Archimède.

Dans la pratique, trois cas peuvent se présenter, si :
* FA > 0, le corps s’élève dans le fluide et cette ascension aboutit à une flottaison du solide.
* FA = 0, le corps est immobile dans le fluide.
* FA < 0, le corps s’enfonce dans le fluide, c’est le type de chute qui est rencontrée dans la décantation des solides.

17. Équations de l’hydrostatique

Considérons un réservoir plein de liquide accéléré en bloc dans une direction quelconque dont la surface libre est exposée à la pression atmosphérique, et prenons un élément de fluide de volume (dxdydz).

L’élément de fluide est en équilibre statique sous l’influence de trois forces de
volume et de six forces de pression hydrostatique.

Les forces qui agissent sur cet élément de volume (dxdydz) dans la direction z sont :
1. Les forces de volume : 

2. Les forces de surface (de pression) : 

Appliquons la condition d’équilibre des forces selon z, on obtient :c'est à dire:

De la même façon, on obtient les équations d’équilibre dans les autres directions x et y :

1. Force de volume par volume unitaire                         2. Force de pression par volume unitaire

Les équations ci dessus sont appelées équations fondamentales de l’hydrostatique (équations d’Euler). Ces équations montrent que la pression hydrostatique en un point donné d’un fluide au repos dépend des coordonnées du point dans le volume du liquide et de la masse volumique, c'est-à-dire 
18. Hydrostatique d’un liquide incompressible dans le champ de pesanteur

Dans le cas où la force massique est seulement la force de pesanteur, les composantes de la
force massique unitaire sont :

La troisième équation différentielle revient à                    (1.10)