Cours9: Equation d’Euler
Prenons un tube de courant ayant à l’intérieur un volume infinitésimal de fluide dont l’aire de section est « S », la longueur « ds » et de masse « m ». à cet endroit le tube de courant fait un angle « α » avec l’horizontale. A la section 1, la pression est « P » et à la section 2, la pression est « P+ dP ». de la section 1 à la section 2, il y a un changement de vitesse « dv » et une hausse de niveau « dx ».
A la section (1) la force F1 = P.S
A la section (2) la force F2 = -(P + dP).S (sens inverse de l’écoulement)
La projection de la masse dans le sens d’écoulement : - m.g.Sin(α)
Selon la deuxième loi de Newton, la poussée nette est égale à Qm.dv, donc :
-dP.S – m.g. Sin(α) = Qm.dv = (ρ. V. S ). dv
On a : m = ρ. S.dx et Sin(α) = dz / dx
-dP.S – (S.dx . ρ.g). dz / dx = ρ.V.S. dv
En simplifiant, on obtient une relation très importante en mécanique des fluides, l’équation d’Euler.
3.6 Relation de Bernoulli
Appliquons l’équation d’Euler à l’écoulement du liquide parfait ; la masse volumique étant invariable, il devient facile d’intégrer chaque terme de cette équation entre deux sections quelconques 1 et 2:
ce qui donne:
ou encore:
